7 / 17
Д.В. Гришин, Я.Ю. Павловский, И.Д. Ремизов
32
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 1
Теорема 1
(Теорема Чернова) [16, 17].
Пусть
— банахово пространство и
( )
— пространство всех линейных ограниченных операторов в
.
Пусть дана
функция
: [0,
)
( ),
G
непрерывная на каждом векторе,
(0) = ,
G I
( )
t
G t
e
с некоторой постоянной
.
Пусть есть такое плотное подпро-
странство
,
что при всех
f
существует предел
1
0
lim ( ( )
),
t
t G t f f
зна-
чение которого обозначим
(0) .
G f
Предположим, что
(0)
G
на
обладает замы-
канием
,
C
и что
C
является генератором сильно непрерывной полугруппы
0
( ) .
t t
W
Тогда для всякого
f
имеем
( / )
n
t
G t n f
W f
при
n
равномерно
по t из каждого отрезка
0
[0, ]
t
при каждом
0
> 0.
t
Изложим теорему Чернова в удобной для дальнейшего применения
форме [12]. Содержание теоремы остается тем же, но условия теоремы разби-
ваются на блоки: (E)xistence — существование полугруппы; (C)hernoff
(T)angency — касание по Чернову; (N)orm bound — оценка сверху на рост нор-
мы. Сперва приведем определение касания по Чернову.
Определение 2.
Пусть
— банахово пространство и
( )
— простран-
ство всех линейных ограниченных операторов в
.
Пусть даны функция
: [0,
)
( )
G
(или семейство
0
( ( )) )
t
G t
и замкнутый линейный оператор
: Dom( )
L
L
с областью определения
Dom( )
.
L
Будем утверждать, что
функция
G
касается по Чернову оператора
,
L
если выполняются следующие
условия:
СТ1) функция
G
сильно непрерывна (непрерывна при наделении
( )
силь-
ной операторной топологией), т. е. отображение
( )
t G t f
непрерывно на
отрезке
[0,
)
для каждого
;
f
СТ2)
(0) = ,
G I
т. е.
(0) =
G f f
для каждого
;
f
СТ3) существует такое плотное в пространстве
линейное подпростран-
ство
,
что при всех
f
существует предел
0
( ( )
) / ,
lim
t
G t f f t
зна-
чение которого обозначим через
(0) ;
G f
СТ4) замыкание оператора
( (0), )
G
существует и равно
( ,Dom( )).
L
L
Замечание 1.
В определении касания по Чернову семейство
0
( ( ))
t
G t
не обязано быть
полугруппой. Однако каждая
C
0
-полугруппа касается по Чернову своего генератора.
Используя определение касания по Чернову, сформулируем теорему Чернова.
Теорема 2.
Пусть
— банахово пространство и
( )
— пространство
всех линейных ограниченных операторов в
,
наделенное операторной нормой,
даны функция
:[0,
)
( )
G
(или семейство
0
( ( ))
t
G t
) и замкнутый линей-
ный оператор
: Dom( )
L
L
с областью определения
Dom( )
.
L
Пусть вы-
полнены условия:
Е) полугруппа
0
( )
tL
t
e
существует, обладает свойством сильной непрерыв-
ности, и ее генератор
( ,Dom( ));
L
L