4 / 17
О новой форме представления решения задачи Коши…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 1
29
2
=2
=
=1
=1
| | 1
1
exp
( )
2
2
2 | |
q
q
q
q
j
j
j
p
j p
j
j
q
t
n
V x V x y
V x y
y
n
t
0
=1
=1
,
q
q
j
p
j
p
x y dy
(2)
где
0
,
a
,
,
x t
2
0
( )
L
и функция
:
V
ограничена и имеет
ограниченную первую производную.
Актуальность поставленной задачи и метод ее решения.
В общем случае
задача о выражении решения дифференциального уравнения через его коэф-
фициенты сложна. В зависимости от уравнения и того, что понимается под сло-
вами «выразить решение уравнения через его коэффициенты», эта задача либо
полностью решена (простые случаи изучают в университетском курсе диффе-
ренциальных уравнений), либо неразрешима, либо до сих пор привлекает вни-
мание ученых. В связи с этим для каждого важного дифференциального урав-
нения представляет большой интерес каждая новая нетривиальная формула,
дающая решение к нему.
В зависимости от выбора потенциала
V
одномерное уравнение Шредингера
может описывать многие квантовые системы, например, квантовый гармониче-
ский осциллятор или частицу в кулоновском поле. Рассматриваемый гладкий огра-
ниченный потенциал
V
возникает в задаче о преодолении гладкого ограниченного
потенциального барьера, а также в задачах, связанных с квантовыми свойствами
кристаллов, поскольку потенциал может быть периодическим
( ( ) = sin( )),
V x
kx
лишь бы он вместе со своей первой производной был ограничен.
Вопрос о соответствующих уравнению физических системах здесь умыш-
ленно не рассмотрен. Главное достоинство этого уравнения заключается не в
области его физических применений, а в том, что с математической точки зре-
ния задача свободна от специфических деталей и сравнительно проста. Она ре-
шалась и решается многими методами, каждый из которых имеет свои сильные
и слабые стороны, которые часто бывают видны на примере этого модельного
уравнения.
Цель настоящей работы
— привести пример применения нового подхода,
возникшего в 2014 г. и основанного на теореме 3 (см. работу [12]). Поясним, по-
чему есть смысл уделять внимание этой теореме. Во-первых, выводить и дока-
зывать фейнмановские формулы заведомо сложнее, чем получать квазифейн-
мановские формулы описываемым здесь методом. Во-вторых, этот метод может
обеспечить более высокую скорость сходимости к решению, чем дает обычно
фейнмановская формула. В-третьих, возможно, с помощью этого метода можно
находить решения для более широкого класса потенциалов
.
V
В приведенном выше уравнении Шредингера потенциал
V
зависит только
от переменной
,
x
поэтому решение временного уравнения Шредингера сводят
к решению стационарного уравнения Шредингера, это стандартный подход для