2 / 17
О новой форме представления решения задачи Коши…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 1
27
Поэтому эволюцию системы из начального состояния
2
0
(0) =
( )
L Q
в состояние
2
( ) ( )
t L Q
можно описать как результат действия некоторого унитарного опера-
тора
( )
U t
на состояние
0
,
т. е.
0
( ) = ( ) .
t U t
Оператор эволюции
( )
U t
связан с
гамильтонианом системы соотношением
( ) = ,
it
U t e
где
— гамильтониан си-
стемы, описывающий состояние
( )
t
с помощью задачи Коши для уравнения
Шредингера
( ) = ( ),
t
i t
t
0
(0) = .
В общем случае гамильтониан
представля-
ет собой самосопряженный оператор в пространстве
2
( ),
L Q
имеющий плотную об-
ласть определения. Таким образом, для однозначного задания эволюции системы
необходимо знать или гамильтониан
, или (при каждом
)
t
оператор эволю-
ции
( ).
U t
Обычно гамильтониан известен, а оператор эволюции нет. К сожалению,
формула
( ) =
it
U t e
непригодна для непосредственного вычисления
( )
U t
при из-
вестном гамильтониане
в случае, если оператор
неограничен, а в содержа-
тельных примерах это именно так. Поэтому выражение
( ) =
it
U t e
через гамильто-
ниан
равносильно решению для каждого
2
0
( )
L Q
задачи Коши
( ) = ( ),
t
i t
t
0
(0) = .
Известно несколько случаев, когда гамильтониан
системы так прост,
что решение задачи Коши можно описать небольшой явной формулой, например,
для атома водорода. В общем случае такие формулы не известны.
Однако, если удалось построить сильно непрерывное семейство ограничен-
ных самосопряженных операторов, касательное по Чернову к оператору
,
то
можно применить приводимую в настоящей работе теорему 3 и получить опе-
ратор
( )
U t
в виде квазифейнмановской формулы. Это и сделано для простого
модельного случая.
Фейнмановские и квазифейнмановские формулы.
Фейнмановская формула
(формула Фейнмана)
представляет собой равенство следующего вида: слева стоит
определяемая равенством функция, а справа — предел кратного интеграла при
стремящейся к бесконечности кратности. Такое определение было впервые введено
О.Г. Смоляновым [2] и восходит к пионерским работам Р.Ф. Фейнмана [3, 4], кото-
рый впервые использовал равенства такого вида на физическом уровне строгости.
Подробнее фейнмановские формулы рассмотрены в работах [5–7].
Научной группой О.Г. Смолянова в 2002–2015 годах в виде фейнмановских
формул были построены решения задачи Коши для многих уравнений вида
( , )= ( , ),
t
u t x Lu t x
называемых эволюционными уравнениями (или уравнениями
эволюции, уравнениями эволюционного типа). К этому типу также относят
уравнение теплопроводности (простой одномерный пример такого уравнения
( , )= ( , ) ( ) ( , ),
t
xx
u t x u t x V x u t x
2 2
= /
)
L
x V
и уравнение Шредингера (простой од-
номерный пример уравнения
( , )
t
t x
( , ) ( ) ( , ),
xx
i
t x iV x u t x
=
L
2 2
( /
)).
i
x V
Ключевым моментом указанного построения было использование теоремы
Чернова, а также построение для каждого уравнения специального семейства
операторов. Требовалось предъявить семейство линейных ограниченных опе-
раторов, эквивалентное по Чернову
C
0
-полугруппе с генератором
.
L