10 / 17
О новой форме представления решения задачи Коши…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 1
35
2
( ( ) (
))
1 exp
(
) , если
0;
( ) ( ) =
2
2
2
( ),
если
0.
t V x V x y y f x y dy
t
S t f x
t
t
f x
t
(11)
Предложение 1.
Функция
2
:[0,
)
( ( ))
S
L
определена корректно, т. е.
она действительно отображает полуинтервал
[0,
)
в пространство
2
( ( ))
L
всех линейных ограниченных операторов, действующих из
2
( )
L
в
2
( ).
L
◄
1. Оператор
( )
F t
ограничен при каждом
0,
t
поскольку представляет
собой оператор умножения на ограниченную функцию
exp[ ( ) / 2].
x
tV x
2. Оператор
( )
B t
также является ограниченным
0,
t
что следует из нера-
венства
2
2 (
)
2
1
2 ( )
( )
< .
2
x y
t e
f y dy dx f x dx
t
Докажем это неравенство в несколько шагов с помощью эквивалентных
преобразований, оценки интеграла, теоремы Фубини и теоремы Тонелли. Из
неравенства видно, что
( ) 1.
B t
3. Поскольку для любого
[0,
)
t
операторы
( )
F t
и
( )
B t
ограничены, то
ограничен и оператор
( ) = ( ) ( ) ( ).
S t F t B t F t
Из ограниченности оператора
( )
S t
следует, что для любой функции
2
( )
f L
ее образ
( )
S t f
также принадлежит
пространству
2
( ).
L
4. Линейность оператора
( )
S t
для каждого
[0,
)
t
очевидна в силу ли-
нейности интеграла Лебега.
►
Предложение 2.
Для каждого
> 0
t
оператор
( )
S t
самосопряжен.
◄
1. Оператор
( )
F t
самосопряжен для каждого
0,
t
поскольку он является
оператором умножения на вещественнозначную функцию.
2. Самосопряженность оператора
( )
B t
для каждого
0
t
показывается эк-
вивалентными преобразованиями и использованием теоремы Фубини и теоре-
мы Тонелли, либо с помощью свойств унитарного преобразования Фурье и тео-
ремы о свертке.
3. Самосопряженность оператора
( )
S t
следует из самосопряженности опе-
раторов
( )
B t
и
( )
F t
и того, что
( )
S t
— их симметричная композиция:
( ) ,
= ( ) ( ) ( ) , = ( ) ( ) , ( ) =
S t f g F t B t F t f g B t F t f F t g
= ( ) , ( ) ( ) = , ( ) ( ) ( ) = , ( ) .
F t f B t F t g f F t B t F t g f S t g
►
Предложение 3.
Семейство операторов
0
( ( ))
t
S t
удовлетворяет первому
условию касания по Чернову оператора
,
H
т. е. для любого фиксированного
2
( )
f L
функция
( )
t S t f
непрерывна на полуинтервале
[0,
).
◄
В целях установления для некоторого семейства операторов
2
2
0
( ( ))[ ] : ( )
( )
t
t
L
L
непрерывности функции
( )
t
t f
достаточно