9 / 17
Д.В. Гришин, Я.Ю. Павловский, И.Д. Ремизов
34
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 1
sign( )
sign( )
=
1
(| / |))
;
lim lim
k
iatH
n k
ian t
ian t
e f
I
S t n
f
k
k
(7)
=0
![
sign( )] [ sign( )]
=
( (| / |)) ;
lim lim
!(
)!
k q
q
k
iatH
q
k
n k q
k k ian t
ian t
e f
S t n f
q k q k
(8)
=0 =0
( 1)
!( sign( ))
=
( (| / |))
.
lim lim
! !(
)!
k m q
k q
k k m
iatH
m
k q
n k m q
k ian t
e f
S t n f
m q k m q k
(9)
Пределы в (4)–(9) существуют по норме в пространстве
.
Замечание 4.
Если оператор
( )
S t
— интегральный, то равенства (5)–(9) — квази-
фейнмановские формулы.
Основные результаты.
Рассмотрим предложенный А.С. Пляшечником мо-
дельный пример, который показывает, какие конкретно квазифейнмановские
формулы получаются в результате использования теоремы 3. В качестве гиль-
бертова пространства
взято пространство
2
2
( ) = ( , ,
)
L
L L
— простран-
ство всех квадратично интегрируемых по Лебегу функций, определенных на
и принимающих значения в
,
факторизованное по отношению равенства
функций почти всюду относительно меры Лебега. Рассмотрим пространство
2
2
2
( ( ))= ( ( ), ( ))
b
L
L L L
всех линейных ограниченных операторов, действу-
ющих из
2
( )
L
в
2
( ).
L
В качестве оператора
H
принимаем оператор следую-
щего вида (оператор Гамильтона с обратным знаком):
1
( )( ) = ( ) ( ) ( ),
2
Hf x
f x V x f x
где
1
( , )
b
V C
— вещественнозначная ограниченная функция с непрерывной
ограниченной производной.
Функцию
S
строим в два этапа. Сперва определим функцию
: [0,
)
F
2
( ( ))
L
равенством
( ( ) )( ) = exp
( ) ( ),
2
t
F t f x
V x f x
а функцию
2
:[0,
)
( ( ))
B
L
— равенством
2
(
)
1 exp
( ) , если
0;
( ) ( ) =
2
2
( ), если
0.
x y f y dy
t
B t f x
t
t
f x
t
Затем определим функцию
2
:[0,
)
( ( ))
S
L
через функции
F
и
B
:
( ) = ( ) ( ) ( ).
S t
F t B t F t
(10)
Обратим внимание на то, что композиция в формуле (10) рассмотрена как
композиция линейных операторов из пространства
2
( ( )) :
L