8 / 17
О новой форме представления решения задачи Коши…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 1
33
СТ) функция
G
касается по Чернову оператора
;
L
N) существует такое число
,
что
( )
t
G t
e
при всех
0.
t
Тогда для каждого
f
справедливо, что
n
tL
t G f
e f
n
при
,
n
где предел равномерен по
0
[0, ]
t
t
при каждом фиксированном
0
> 0.
t
Определение 3.
Пусть
— банахово пространство и
( )
— простран-
ство всех линейных ограниченных операторов в
,
наделенное операторной
нормой. Две определенные на
[0,
)
(или на
)
функции
1
G
и
2
G
со значениями
в
( )
называют эквивалентными по Чернову [18], если
1
2
(0) = (0) =
G G I
и при
всех
f
и всех
> 0
T
1
2
[0, ]
(соответственно [ , ])
= 0.
sup
lim
n
n
n
t
T
t
T T
t
t
G f
G
f
n
n
Замечание 2.
Существует несколько близких определений эквивалентности по Чернову
[7, 18, 19]. Не углубляясь в их сравнение, следуем определению, приведенному в работе [18].
Единственное, что необходимо от этого определения, заключается в следующем: если функ-
ция
1
G
и оператор
L
удовлетворяют условиям теоремы Чернова, то функция
1
G
эквива-
лентна по Чернову функции
2
( ) = .
tL
G t e
Другими словами, предел выражения
1
( ( / ))
n
G t n
при
n
дает сильно непрерывную полугруппу
0
( )
tL
t
e
(или группу
( ) ).
tL
t
e
Замечание 3.
В случае, когда при каждом
t
оператор
( )
G t
интегральный, равенство
= lim /
n
tL
n
e f
G t n f
является фейнмановской формулой. Действительно,
2
/ 2
G t
f
—
двойной интеграл,
3
/ 3
G t
f
— тройной и т. д.
Теорема 3 [12].
Пусть
— комплексное гильбертово пространство, а
Dom( )
H
— его плотное линейное подпространство. Пусть оператор
: Dom( )
H H
линеен и самосопряжен, ненулевое число
a
(положитель-
ное или отрицательное) фиксировано, функция
S
касается по Чернову опера-
тора
,
H
и
*
( ( )) = ( )
S t
S t
для каждого
0.
t
Для каждого
t
примем
( ) =
R t
=
exp[ ( (| |) )sign( )]
ia S t
I
t
1
. Тогда функция
R
эквивалентна по Чернову группе
(
)
iatH
t
e
и для каждого фиксированного
f
верны равенства
( (| / |) )sign( )
( (| / |) )sign( )
=
,
=
;
lim
lim
n
iatH
ia S t n I
t
iatH
ian S t n I
t
n
n
e f
e
f e f
e
f
(4)
=0
( sign( ))
=
( (| / |) )
;
lim lim
!
m
k
iatH
m
n k m
ian t
e f
S t n I
f
m
(5)
=0 =0
( 1) ( sign( ))
=
( (| / |))
;
lim lim
!(
)!
m q
m
k m
iatH
q
n k m q
ian t
e f
S t n f
q m q
(6)
__________________
1
Такое определение корректно, поскольку при каждом
t
в показателе экспоненты стоят
линейные ограниченные операторы в пространстве
.