26
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 1
УДК 517.955.4
DOI: 10.18698/1812-3368-2017-1-26-42
О НОВОЙ ФОРМЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА НА ПРЯМОЙ
Д.В. Гришин
1
grishind@yandex.ruЯ.Ю. Павловский
1
pvlvsk-yan@rambler.ruИ.Д. Ремизов
1,
2
ivremizov@yandex.ruЕ.С. Рожкова
1
rse.elena.rus@gmail.comД.А. Самсонов
1
blitzar90@gmail.com1
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация
2
Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет
им. Н.И. Лобачевского (ННГУ), Нижний Новгород, Российская Федерация
Аннотация
Ключевые слова
Рассмотрена задача Коши для одномерного уравнения
Шредингера
( , )= ( , )
t
t x iH t x
с гамильтонианом
H
вида
1=
,
2
Hf
f Vf
где потенциал
V
— веществен-
ная дифференцируемая функция, ограниченная вместе со
своей производной. Это уравнение изучали со времен
создания квантовой механики и до сих пор оно является
хорошим модельным примером для демонстрации раз-
личных методов решения уравнений в частных произ-
водных. Исследован вопрос о представимости решения
задачи Коши в виде квазифейнмановской формулы, и на
него дан утвердительный ответ. Построенная квазифейн-
мановская формула — родственное формулам Фейнмана
выражение нового типа, содержащее кратные интегралы
бесконечно растущей кратности. Такие формулы легче
доказывать (по сравнению с фейнмановскими формула-
ми), но они дают более длинное выражение для решения
Уравнение Шредингера, задача
Коши, квазифейнмановская фор-
мула, уравнение теплопроводно-
сти, касание по Чернову, кратный
интеграл, полугруппа операторов
Поступила в редакцию 10.05.2016
©МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда
(грант РНФ № 14-41-00044) в ННГУ им. Н.И. Лобачевского
Уравнение Шредингера и квантовая механика.
Уравнение Шредингера — одно из
основных уравнений квантовой механики [1], которое описывает эволюцию зам-
кнутой квантовой системы, т. е. изменение системы во времени при условии того,
что система не взаимодействует ни с какими внешними для нее частицами или по-
лями. Если квантовая система получена путем квантования некоторой классиче-
ской системы, то под чистым состоянием квантовой системы понимают имеющий
единичную норму вектор комплексного гильбертова пространства
2
( ),
L Q
где
Q
—
конфигурационное пространство исходной классической системы. В процессе эво-
люции замкнутой системы чистые состояния переходят в чистые состояния.