6 / 17
О новой форме представления решения задачи Коши…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 1
31
1) отображение
(0)
W
— тождественный оператор
,
I
: (0) = ;
W
2) отображение
W
сопоставляет сложению чисел в
[0,
)
композицию опе-
раторов в
( ),
0,
0 : ( ) = ( ) ( ),
t
s
W t s W t W s
где использовано обозна-
чение
(
)( )= ( ( ))
A B A B
для каждого
;
3) отображение
W
непрерывно при наделении пространства
( )
сильной
операторной топологией,
функция
( )
t W t
непрерывна как отобра-
жение
[0,
)
.
Определение
C
0
-группы получают заменой
[0,
)
пространством
.
Если
0
( ( ))
t
W t
—
0
C
-полугруппа в банаховом пространстве
,
то множе-
ство
denote
0
( )
lim :
= Dom( )
t
W t
L
t
плотно в пространстве
.
Оператор
,
L
определенный на
Dom( )
L
равенством
0
( )
lim=
,
t
W t
L
t
называется инфинитезимальным генератором (генератором)
C
0
-полугруппы
0
( ( )) .
t
V t
Генератор является замкнутым линейным оператором, который од-
нозначно определяет
0
C
-полугруппу, и обозначается как
( )= .
tL
W t e
Если
L
—
ограниченный оператор, и
Dom( ) = ,
L
то оператор
tL
e
представляет собой
экспоненту, определяемую степенным рядом
=0
=
,
!
k k
tL
k
t L
e
k
сходящимся по нор-
ме в пространстве
( ).
В более интересных и актуальных для приложений
случаях генератор представляет собой неограниченный дифференциальный
оператор, например, лапласиан
.
Одна из причин для изучения
C
0
-полугрупп — их связь с дифференциаль-
ными уравнениями. Если
Q
— множество, то функцию
:[0,
)
u
Q
,
: ( , )
( , )
u t x u t x
двух переменных
,
t x
можно представить в виде функции
:
[
( , )]
u t
x u t x
одной переменной
t
со значениями в пространстве функ-
ций переменной
x
. Если
( , )
,
u t
то можно определить
( , ) = ( ( , ))( ).
Lu t x Lu t
x
Если существует
0
C
-полугруппа
0
( ) ,
tL
t
e
то задача Коши
0
( , ) = ( , ) для > 0,
;
(0, ) = ( ) для
t
u t x Lu t x
t
x Q
u x u x
x Q
имеет единственное (в смысле
,
где
( , )
u t
для каждого
0)
t
решение
0
( , )=( )( ),
tL
u t x e u x
непрерывно зависящее от
0
.
u
При существовании сильно
непрерывной группы
( )
tL
t
e
в задаче Коши уравнение
( , ) = ( , )
t
u t x Lu t x
можно
рассматривать не только для
> 0,
t
но и для
,
t
и решение представляют той
же формулой
0
( , )=( )( ).
tL
u t x e u x
Подробнее полугруппы и их связи с дифферен-
циальными уравнениями рассмотрены в работах [13, 14].