11 / 17
Д.В. Гришин, Я.Ю. Павловский, И.Д. Ремизов
36
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 1
проверить эквивалентную ей секвенциальную непрерывность:
0
[0,
)
t
из
0
0,
n
n
t
t
t
следует, что
0
( )
( )
n
t f
t f
в
2
( ).
L
Доказательство состоит из
пяти шагов, каждый из которых заключается в проверке непрерывности:
1) функции
( )
t F t f
на полуинтервале
[0,
)
при фиксированном
2
( );
f L
2) функции
( )
t B t f
на интервале
(0,
)
при фиксированном
2
( );
f L
3) функции
( )
t B t
в нуле при фиксированном
0
( );
C
4) функции
( )
t B t f
в нуле при фиксированном
2
( );
f L
5) функции
( )
t S t f
на полуинтервале
[0,
)
при фиксированно
2
( ),
f L
при уже доказанной непрерывности функций
( )
t F t f
и
( ) .
t B t f
►
Предложение 4.
Семейство операторов
0
( )
t
S t
удовлетворяет второму
условию касания по Чернову оператора
,
H
т. е.
(0) = .
S I
◄
Поскольку
(0) =
B I
и
(0) = ,
F I
(0) = (0) (0) (0) = .
S F B F I
►
Предложение 5.
Семейство операторов
0
( )
t
S t
удовлетворяет третьему
условию касания по Чернову оператора
,
H
т.
е. для любого
0
( )
C
суще-
ствует
0
( )
(0) :=
.
lim
t
S t
S
t
◄
Оператор
( )
S t
допускает представление в виде
=( )( )
1
( ( ) )( ) = ( )
( ) ( ) ( )
( , ),
2
H x
S t
x x t
x V x x A t x
где
( , ) = ( )
A t x o t
в
2
( ).
L
Такое представление обосновывается за три шага.
Сначала в интегральном представлении (11) для
( ( ) )( )
S t
x
заменим все участ-
вующие функции их приближениями многочленами по формуле Тейлора с
остаточным членом в форме Лагранжа. Затем раскроем скобки и сгруппируем
члены при одинаковых степенях .
t
Далее часть получившихся определенных
интегралов вычислим, а часть — оценим, используя ограниченность производ-
ных и представление остаточных членов в форме Лагранжа.
►
Предложение 6.
Оператор
1 :
2
H f
f
Vf
отображает пространство
2
2
( )
W
в пространство
2
( ).
L
◄
Утверждаемый факт следует из определения пространства Соболева
2
2
( )
W
и ограниченности функции
.
V
►
Предложение 7.
Семейство операторов
0
( ( ))
t
S t
удовлетворяет четвер-
тому условию касания по Чернову оператора
,
H
т. е. оператор
0
( (0),
( ))
S C
замыкают и
2
0
2
( (0),
( )) = ( ,
).
S C
H W
◄
1. В доказательстве третьего условия касания по Чернову было установле-
но, что
1
(0) =
=
2
S
V H
для всех
0
( ).
C