12 / 17
О новой форме представления решения задачи Коши…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 1
37
2. Показано, что оператор
0
( ,
( ))
H C
симметричен на своей плотной в про-
странстве
2
( )
L
области определения, следовательно, он допускает замыкание.
3. Оператор
:=
Lf Vf
ограничен (как оператор умножения на ограниченную
функцию), и поэтому оператор
0
( ,
( ))
H C
имеет ту же область определения,
что и оператор
0 0
( ,
( )),
H C
где
0
1= .
2
H f
f
4. Из определения пространства
2
2
( )
W
следует, что область определения
оператора
0 0
( ,
( ))
H C
есть
2
2
( ).
W
►
Предложение 8.
Оператор
2
2
( ,
( ))
H W
самосопряжен.
◄
1. Согласно определению пространства
2
2
( ),
W
определению сопряжен-
ного оператора и того, что равенство
( ) ( ) = ( ) ( )
f x g x dx f x g x dx
справедли-
во для всех
2
2
,
( ),
f g W
оператор
2
0 2
( ,
( ))
H W
самосопряжен, где
0
1= .
2
H f
f
2. Оператор
V
определен всюду в пространстве
2
( )
L
и самосопря-
жен, так как функция
V
ограничена и принимает лишь вещественные значе-
ния.
3. Оператор
H
является суммой операторов, полученных в пп. 1 и 2.
►
Теорема 4.
Пусть
0
,
a
,
,
x t
2
0
( )
L
и функция
:
V
ограничена и имеет ограниченную первую производную. Тогда задача Коши (1)
имеет единственное в пространстве
2
( )
L
решение, представимое в виде ра-
венства (2)
,
которое справедливо для почти всех
.
x
◄
Объединяя все доказанное выше, получаем, что для функции
S
и опера-
тора
Н
выполняется предполагающая часть теоремы 3, т. е. функция
S
касается
по Чернову оператора
,
H
и
0
t
операторы
( )
S t
и
H
— самосопряженные
линейные операторы. Это позволяет применить теорему 3 к рассматриваемому
случаю и получить квазифейнмановские формулы для
.
itaH
e
По теореме 3 ре-
шение задачи Коши (3) единственно в пространстве
2
( )
L
и согласно (6) может
быть представлено в виде
=0 =0
( 1)
(sign( ))
(| / |) .
( , ) = lim lim
!(
)!
m q m m m
m
k m
q
n k m q
i a n
t
S t n
t x
q m q
(12)
Распишем подробнее
(| / |) .
q
S t n
Для
= 2
q
имеем
2
1
1
2
1
1 2
2
1 2 2 1
| | ( ( ) (
))
( (| / |) (| / |) )( ) =
exp
2 | |
2
2 | |
2 | |
| | ( (
) (
))
exp
(
)
=
2
2 | |
t V x V x y ny
n
n
S t n S t n f x
t
n
t
t
t V x y V x y y
ny f x y y dy dy
n
t