5 / 17
Д.В. Гришин, Я.Ю. Павловский, И.Д. Ремизов
30
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 1
такого рода задач. Авторы настоящей работы хотят продемонстрировать аль-
тернативный метод, позволяющий находить решение задачи Коши (т. е. неиз-
вестную волновую функцию
)
без решения задачи о собственных функциях и
собственных числах или сведения к другой проблеме.
Следует отметить, что настоящее сообщение носит теоретический характер
и написано скорее с точки зрения математика, чем физика, что и объясняет вы-
бор методов. Здесь не рассмотрен физический смысл коэффициента
,
a
не
найден энергетический спектр частицы, не решены связанные с исследуемым
уравнением физические задачи.
При нормировке волновой функции использован стандартный квантово-
механический подход. Оператор
( )
U t
унитарный, поэтому при каждом
t
спра-
ведливо равенство
0
0
= ( ) = ( , ) ,
U t
t
однако один содержательный вопрос
может быть поставлен: неизвестно, имеет ли место для стоящих под знаком
предела выражений это же свойство.
Основной результат работы — доказанная теорема 4.
Уравнение Шредингера в виде
= .
t
L
Перепишем условия задачи Коши
(1) в виде, удобном для дальнейших построений
0
= ;
(0) = ,
t
iaH
(3)
где
1
( )( ) = ( ) ( ) ( ).
2
Hf x f x V x f x
Это позволит свести нахождение решения изу-
чаемой задачи Коши к нахождению полугруппы с генератором
,
iaH
поскольку в
пространстве
2
( )
L
справедливо равенство
0
( , ) =
( ).
iatH
t x e
x
Подробнее
возможность такого представления рассмотрена в работе [12].
Сильно непрерывные (полу)группы операторов.
Приведем минимальный
набор сведений о сильно непрерывных (полу)группах, или
C
0
-(полу)группах
операторов, необходимый для понимания их роли в теории эволюционных
уравнений с частными производными. Все классические определения и утвер-
ждения могут быть найдены, например, в работах [13–15]. Из неклассических
фактов изложена только теорема 3, предложенная И.Д. Ремизовым в 2014 г., а
также понятие касания по Чернову и формулировка теоремы Чернова, опира-
ющаяся на это понятие.
Определение 1.
Пусть
— банахово пространство над полем
,
( )
— пространство всех линейных ограниченных операторов в простран-
стве
. Пусть дано отображение
: [0,
)
( ),
W
т. е. если
0
t
фиксировано, то
( )
W t
— линейный ограниченный оператор, отоб-
ражающий
в
.
Отображение
W
называется C
0
-полугруппой, или сильно не-
прерывной однопараметрической полугруппой операторов, если оно удовлетворяет
трем условиям: