3 / 17
Д.В. Гришин, Я.Ю. Павловский, И.Д. Ремизов
28
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 1
Известно, что строить такие семейства для уравнения Шредингера гораздо
труднее, чем для уравнения теплопроводности. Приведем два примера. В 2012–
2013 годах для уравнений теплопроводности и Шредингера с
n
x
фейнманов-
ские формулы были построены А.С. Пляшечником, причем в рассмотренном им
случае коэффициенты уравнений могли зависеть от времени; решение уравне-
ния Шредингера потребовало регуляризации с помощью малого параметра
[8, 9]. Для не зависящей от времени правой части И.Д. Ремизовым было получе-
но решение уравнения теплопроводности с бесконечномерным гильбертовым
пространством координат в виде фейнмановской формулы [10, 11], а для соот-
ветствующего уравнения Шредингера сделать этого не удалось в связи с беско-
нечномерной спецификой задачи. Тогда была предпринята попытка найти ка-
кие-либо пути решения бесконечномерного уравнения Шредингера, для кото-
рых бесконечномерность не была бы центральным местом.
В 2014 г. И.Д. Ремизов установил, что, если несколько расширить класс до-
пустимых представлений решения, то семейства, построенные для уравнения
теплопроводности, можно использовать после некоторой модификации для
решения уравнения Шредингера [12]. Так было сформулировано приведенное
ниже определение.
Квазифейнмановская формула
— равенство, в котором слева стоит опреде-
ляемая равенством функция, а справа — выражение, содержащее кратные инте-
гралы сколь угодно большой кратности. В отличие от фейнмановских, квази-
фейнмановские формулы в правой части могут содержать суммирование или
другие операции.
Предложенный метод модификации семейств оказался достаточно общим и
гибким, чтобы применять его не только для той задачи, для решения которой он
был разработан. Метод работает на уровне полугрупп операторов, поэтому ре-
шаемое уравнение Шредингера может иметь произвольный самосопряженный
гамильтониан и произвольное конфигурационное пространство, лишь бы суще-
ствовали семейства для соответствующего уравнения теплопроводности.
Постановка задачи и ее решение.
Главная задача работы — доказательство
того, что задача Коши для уравнения Шредингера на прямой
2
2
0
1
( , ) =
( , ) ( ) ( , );
2
(0, ) = ( )
i
t x
t x V x t x
a t
x
x
x
(1)
имеет единственное решение в пространстве
2
( ),
L
задаваемое справедливым
для почти всех
x
равенством (квазифейнмановской формулой)
/2
=0 =0
( 1)
(sign( ))
lim lim
( , ) =
!(
)!
2 | |
q
m q m m m
m
k m
n k m q
i a n
t
n
t x
q m q
t