7 / 20
Конечно-элементный метод решения трехмерных задач…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
79
Введем матрицу, составленную из операторов дифференцирования
т
1
2
3
2
1
2
3
9 3
1
2
3
0 0
0 0
0 0
0
0 0
0 0
0 ,
0 0
0 0
0 0
x
x
x
L
x
x
x
x
x
x
(26)
и матрицу транспонирования
9 9
1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 .
0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1
T
(27)
С учетом введенных обозначений обобщенный закон Гука (второе уравне-
ние в системе (2)) может быть записан в эквивалентной форме
6
6 6 6
,
C
(28)
а соотношения Коши (третье уравнение в системе (2)) примут вид
1
6
6 3 3
,
L w
(29)
где вектор перемещения КЭ в варьируемом состоянии связан с вектором пере-
мещений его узлов как
3
3 12 12
.
w N W
(30)
Вариации компонент тензора малых деформаций
6
и производных
9
R
могут быть выражены как
1
6
6 3 3
;
L w
(31)
2
9
9 3 3
,
R L w
(32)
где
3
3 12 12
.
w N W
(33)
Преобразуем подынтегральное выражение в (4) с учетом обобщенного зако-
на Гука и выражения для кососимметричного тензора
w
из (2):