Конечно-элементный метод решения трехмерных задач теории устойчивости упругих конструкций

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6

УДК 539.3

DOI: 10.18698/1812-3368-2016-6-73-92

КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ ЗАДАЧ

ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГИХ КОНСТРУКЦИЙ

Ю.И. Димитриенко

dimit.bmstu@gmail.com

И.О. Богданов

biofamily_7394@mail.ru

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация

Аннотация

Ключевые слова

Рассмотрены трехмерные задачи теории устойчивости

упругих конструкций. Использована тензорная постанов-

ка этого класса задач, предложенная ранее Ю.И. Димитри-

енко. Трехмерные задачи теории устойчивости упругих

конструкций являются относительно мало исследован-

ными, в отличие от двумерных задач теории устойчиво-

сти. В настоящее время численные методы их решения не

известны. Сформулирована вариационная постановка

задачи трехмерной теории устойчивости. На основе этой

постановки предложен конечно-элементный метод реше-

ния задач теории устойчивости, который сводится к

нахождению собственных значений системы линейных

алгебраических уравнений с симметричной матрицей

глобальной жесткости. Разработан программный модуль,

реализующий предложенный конечно-элементный метод

в рамках программного комплекса SMCM, разработанно-

го в НОЦ «СИМПЛЕКС» МГТУ им. Н.Э. Баумана, с ис-

пользованием CSIR-схемы хранения разряженных матриц

и метода бисопряженных градиентов. Проведен тестовый

расчет для задачи устойчивости прямоугольной пластины

при продольном сжатии. Сравнение конечно-элементного

решения этой задачи по трехмерной теории и теории

пластин Тимошенко показало высокую точность разрабо-

танного численного метода при определении критических

нагрузок. В то же время трехмерная теория позволяет

установить более точные формы собственных функций

потери устойчивости

Трехмерные задачи теории

устойчивости, вариационная

постановка задачи теории

устойчивости, метод конеч-

ного элемента, устойчивость

пластины, критические нагрузки

Поступила в редакцию 10.04.2016

Введение.

Традиционные методы расчета конструкций на устойчивость, которые

в настоящее время широко используют в инженерной практике, основаны на

анализе двумерных теорий пластин и оболочек или одномерных теорий стержне-

вых конструкций [1–14]. Для многих важных практических задач необходимо

оценивать влияние трехмерных эффектов на устойчивость конструкций, напри-

мер, влияние одиночных уединенных дефектов, локальных зон соединения эле-

ментов, местных изменений толщины и др. Двумерные и одномерные теории