2 / 20
Ю.И. Димитриенко, И.О. Богданов
74
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
устойчивости конструкций не обеспечивают достаточной точности при исследо-
вании задач этого класса, в связи с чем в последнее время стала актуальной про-
блема исследования устойчивости конструкций в рамках общей трехмерной тео-
рии. Число как отечественных, так и зарубежных публикаций, посвященных
трехмерным задачам устойчивости, весьма ограничено [13–18]. Одним из первых,
кто вывел уравнения теории устойчивости из общей нелинейной теории упруго-
сти, используя при этом один из возможных ее вариантов определяющих соот-
ношений, был В.В. Новожилов [15]. Некоторые оригинальные подходы к выводу
трехмерных уравнений устойчивости рассмотрены в работах А.Н. Гузя [14].
Обобщенные трехмерные уравнения теории устойчивости нелинейно-упругих
тел с конечными деформациями для широкого класса моделей нелинейной упру-
гости, из которых были получены уравнения трехмерной теории устойчивости
при малых деформациях, были выведены в работах [16, 17].
Цель настоящей работы — разработка конечно-элементного метода решения
трехмерной задачи теории устойчивости линейно-упругих тел с малыми деформа-
циями в общей трехмерной постановке, сформулированной в работах [16–18].
Математическая модель трехмерной теории устойчивости.
Согласно раз-
работанной в работах [16, 17] теории, трехмерный расчет устойчивости упругих
конструкций заключается в последовательном решении двух задач. Первая из
них — задача равновесия упругой конструкции для основного (устойчивого)
состояния (трехмерная задача теории упругости), которая имеет вид
0
0 4
0 0
0
0
0
0
т
0;
1 ,
;
2
,
,
u
e
e
σ
σ C ε ε
u
u
n σ
S u
u
(1)
где
0
σ
— тензор напряжений;
0
ε
— тензор малых деформаций;
0
u
— вектор
перемещений;
4
C
— тензор четвертого ранга модулей упругости;
— набла-
оператор;
,
e
S
e
u
— векторы внешних поверхностных сил и перемещений;
—
безразмерный коэффициент при векторах внешних поверхностных сил и пере-
мещений, характеризующий пропорциональное возрастание внешних сил и пе-
ремещений во времени.
Вторая задача — задача теории устойчивости линейно-упругих конструкций
формулируется для варьируемого (неустойчивого) состояния конструкции и
имеет следующий вид:
0
3
т
3
т
4
3
0
0;
1
,
;
2
1
1
;
;
;
2
2
0;
0,
u
σ σ B
σ C ε w ε w
w w
B ω ω
w
w
w w
n σ σ ω
w
(2)