10 / 20
Ю.И. Димитриенко, И.О. Богданов
82
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
т
т
т
т
2
2
2
2
12
12 9
9 12 12 9
9 12 12
т
т
2
2
12 12 9
0
0
9 9
9
9 12 12
9
0
9 9
1
2
2
1
2
,
1
W B
B B
B W
W B
B W
(43)
где
0
0
0
9 9
9 9
т
9 9
1
2
— симметричная матрица.
Подставляя соотношения (34), (35) и (43) в вариационное уравнение (4) и
преобразуя полученное выражение, с учетом замены
0
0
9 9
9 9
(1) ,
запи-
шем искомую СЛАУ для задачи устойчивости
12 12 12
12 12 12
.
K W S W
(44)
Здесь введены обозначения для следующих симметричных матриц:
т
т 0
1
1
2
2
12 12
12 6 6 6 6 12
12 12
12 9
9 12
9 9
1
,
.
2
V
V
K B C B dV S
B
B dV
(45)
Для численного решения задачи (44) на собственные значения был разрабо-
тан программный модуль, реализующий предложенный конечно-элементный
метод в рамках программного комплекса SMCM, разработанного в НОЦ
«СИМПЛЕКС» МГТУ им. Н.Э. Баумана, с использованием CSIR-схемы хране-
ния разряженных матриц и метода бисопряженных градиентов.
Тестовая задача об устойчивости пластины при продольном сжатии.
Для
проверки точности разработанного конечно-элементного метода решения зада-
чи устойчивости была рассмотрена тестовая задача об устойчивости прямо-
угольной пластины при продольном сжатии. Решение этой задачи было выпол-
нено двумя методами:
1) в рамках общей трехмерной теории разработанного конечно-элементного
метода;
2) в рамках одномерной теории устойчивости пластины, рассматриваемой по
модели Тимошенко, при действии на нее продольной сжимающей нагрузки. Зада-
ча устойчивости пластины по модели Тимошенко сводится к нахождению соб-
ственных значений и собственных функций уравнения четвертого порядка [17]
(0)
(0)
4
2
3
3
4
2
1
1
0,
d w d w
dx
dx
1
0
x l
(46)
с граничными условиями на торцах пластины
(0)
(0)
3
3
(0)
(0)
3
3
1
1
0 0,
0;
0 0,
0.
w
w l
dw
dw l
dx
dx
(47)