3 / 20
Конечно-элементный метод решения трехмерных задач…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
75
где
σ
— тензор напряжений;
ε
— тензор малых деформаций;
w
— вектор пе-
ремещений в варьированном (неустойчивом) состоянии;
3
– тензор Леви-
Чивиты.
Решение задач (1), (2) осуществляют в соответствии с приведеным ниже ал-
горитмом.
1. Решают задачу (1) для основного состояния при значении параметра
1.
2. Вычисляют поле тензора напряжений
0
1 .
σ
В силу линейности задачи
любому другому значению параметра
соответствует поле тензора напряже-
ний
0
0
1 .
σ
σ
3. Подставляют поле
0
σ
в (2), получают задачу теории устойчивости
(задачу на собственные значения
).
4. Решают задачу (2), вычисляют систему собственных значений
и соб-
ственных функций
.
w
Вариационная формулировка задачи трехмерной теории устойчивости.
Для задач (1), (2) могут быть сформулированы вариационные постановки. Рас-
смотрим задачу (1) равновесия для основного (устойчивого) состояния. Введем
кинематически допустимое поле
0
0
,
Ψ u
где
0
u
— вариация вектора пере-
мещения
0
,
u
понимаемая как разность двух кинематически допустимых полей.
Примем, что данное поле удовлетворяет нулевому граничному условию на ча-
сти поверхности
u
области
.
V
Умножая скалярно уравнение равновесия из
системы (1) на
0
Ψ
и интегрируя полученное выражение по области
,
V
с учетом
преобразования
0
0
0 0
0
0
Ψ σ
Ψ σ σ Ψ
и теоремы Гаусса — Остроградского получаем вариационное уравнение для за-
дачи равновесия в основном состоянии
4
0 0
0 0
0
0.
e
V
dV
d
C ε u ε u
S u
(3)
Используя аналогичный подход применительно к задаче устойчивости (2) в
варьируемом состоянии, приходим к вариационному уравнению
0
т
4
0.
V
dV
C ε w σ w
w
(4)
Уравнение (4) является задачей на собственные значения, в которой после
подстановки
0
0
1 ,
σ
σ
требуется найти собственные значения
и соот-
ветствующие им собственные функции
.
w
На практике особый интерес пред-
ставляет наименьшее собственное значение
min
,
поскольку ему соответствует
наименьшая критическая нагрузка
кр
,
e
S
приводящая к первой форме потери