6 / 14
Точное решение задачи Дирихле для вырождающегося на границе эллиптического уравнения…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5
9
Поскольку ядро интеграла — аппроксимативная единица, запишем равен-
ство
0
lim ,
y
u x y
x
в точках непрерывности
,
x
которое означает, что
интеграл представляет собой классическое решение задачи Дирихле.
В случае обобщенных функций медленного роста
,
n
x
для кото-
рых свертка существует, функция
1
,
,
n
u x y
x k x y
является обобщен-
ным решением задачи Дирихле:
0
lim ,
в .
y
u x y
x
Например, если
,
x
x
то решением задачи Дирихле будет ядро инте-
грала
1
1
,
,
,
,
n
n
u x y
x k x y k x y
1
0
lim ,
в .
n
y
k x y
x
Если
, 1
,
p n
x L
p
то согласно свойствам аппроксимативной еди-
ницы [5] имеем
0
lim ,
y
u x y
x
для почти всех
,
x
если
p
, то
,
u x y
сходится к
x
по норме
p n
L
при
0.
y
Для
1
n
интеграл, дающий решение задачи Дирихле для уравнения типа
Трикоми (5)–(7), имеет вид
3/2
5/6
3/2 1/3
2
3
3 Г 2 / 3 Г 5 / 6
,
.
2
4 9
y t
u x y
dt
y
x t
Ядро интегрального представления решения задачи Дирихле для много-
мерного уравнения типа Трикоми, которое является аппроксимативной еди-
ницей:
*
1
1
/2 1/3
3/2
3/2
2
3
1
,
,
4 9
n
n
n
n
x
y
k x y C
y
y
y x
где
*
1
/2 1/3
2
,
4 9
n
n
C
r
r
т. е. ядро
1
,
n
k x y
—
автомодельное решение
уравнения типа Трикоми, кото-
рое можно найти методом подобия
[15, 16]. Решим указанным методом задачу
Дирихле для уравнения типа Трикоми — Келдыша.
Решение задачи Дирихле для уравнения типа Трикоми — Келдыша при
2
m
методом подобия.
Найдем ядро интегрального представления решения