4
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5
УДК 517.956
DOI: 10.18698/1812-3368-2016-5-4-17
ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ
НА ГРАНИЦЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ТИПА
ТРИКОМИ — КЕЛДЫША В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ
О.Д. Алгазин
mopi66@yandex.ruМГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация
Аннотация
Ключевые слова
Методом преобразования Фурье и методом подобия
решена краевая задача Дирихле для многомерного
обобщения уравнений Трикоми, Геллерстедта и Келды-
ша в полупространстве, в котором это уравнение эллип-
тично с краевым условием на граничной гиперплоско-
сти, где уравнение вырождается. Решение представлено
в виде интеграла с простым ядром, являющимся ап-
проксимативной единицей и автомодельным решением
уравнения типа Трикоми — Келдыша. В частности, эта
формула включает в себя и формулу Пуассона, дающую
решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в полу-
пространстве. Если заданное граничное значение явля-
ется обобщенной функцией медленного роста, то реше-
ние задачи Дирихле можно записать в виде свертки этой
функции с ядром (если свертка существует)
Преобразование Фурье, уравнение
Трикоми, задача Дирихле, ап-
проксимативная единица, авто-
модельное решение, метод подо-
бия, обобщенные функции мед-
ленного роста
Поступила в редакцию 20.03.2016
©МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2016
Введение.
Рассмотрим многомерное эллиптическое уравнение в полупростран-
стве
Δ
0,
2,
0,
m
x
yy
y u u
m y
(1)
где
1
,
,
,
0;
,
n
n
x x
x
y u u x y
— функция переменных
1
,
;
n
x y
2
2
2
2
1
Δ
x
n
x
x
— оператор Лапласа по переменным
x
.
При
1,
1
n m
получаем уравнение Трикоми
0,
xx yy
yu u
при
1,
0
n m
— уравнение Геллерстедта
0,
0.
m
xx yy
y u u
m
При
1,
0
n m
уравнение (1) можно записать в виде
0, 0
2,
m
xx
yy
u y u
m
что представляет собой частный случай уравнения Келдыша [1]. Эти уравнения
применяют в трансзвуковой газовой динамике и в математических моделях хо-
лодной плазмы [2, 3]. При
0
m
получаем уравнение Лапласа
Δ ,
0.
u x y