8 / 14
Точное решение задачи Дирихле для вырождающегося на границе эллиптического уравнения…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5
11
Подставив функцию (11) в уравнение (10), запишем уравнение
2 2
2
2
1
1
2
1
0.
n
k r
r
k nr k r kr
r kn kn
r
r
Выполнив в этом уравнении замену переменной
2 2
1
,
k r
для функции
найдем гипергеометрическое уравнение
2
1
1
1
1
1
0,
2 2
2
4 4
n
n n
n
k
k
k
которое запишем в виде
1
1
0,
c a b
ab
(12)
где
1
1
1 ;
;
.
2 2
2
2 2
n
n n
c
a
b
k
k
Общее решение гипергеометрического уравнения (12) имеет вид
1
1
2
, ; ;
1,
1; 2 ;
c
C F a b c
C F b c a c
c
/2 1/2
1
2
1
1
1
1
,
;
1 ;
0,
; 1
;
2 2 2 2 2
2
2 2
n k
n n
n
n
C F
C
F
k
k
k
k
/2 1/
2
1
2
1
1
,
;
1
;
.
2 2
2 2
2
n m
n n
n
C F
C
m
m
Здесь
, ; ;
F a b c
— гипергеометрическая функция. Возьмем частное решение
(обозначим константу
2
C
как
)
nm
C
/2 1/
2
.
nm
n m
C
Возвращаясь к старым переменным, получаем
/2 1/
2
2
2
.
2
1
2
nm
n m
C
r
m r
Константу
nm
C
выберем такой, чтобы интеграл
x
по всему пространству
n
был равен единице. Переходя к сферическим координатам и обозначая че-
рез
1
n
площадь единичной сферы в пространстве
,
n
находим