Точное решение задачи Дирихле для вырождающегося на границе эллиптического уравнения типа Трикоми - Келдыша в полупространстве

4 / 14

Точное решение задачи Дирихле для вырождающегося на границе эллиптического уравнения…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5 7
Это уравнение Эйри, общее решение которого запишем через функции
Эйри:
         
  2/3 2/3
1 2 , Ai Bi . U t y c t t y c t t y
Поскольку
     

   2/3
2/3
1
lim Bi и Ai 0 ,
3 Г 2 / 3
y
t y
с учетом граничных условий получим решение краевой задачи
       
 2/3
2/3 , 3 Г 2 / 3 Ψ Ai . U t y t t y
Применив обратное преобразование Фурье, найдем решение исходной за-
дачи Дирихле для уравнения типа Трикоми (5)–(7) в виде свертки (если свертка
существует)
         , , ,
n u x y x k x y (8)
где        
     
2/3
2/3 1
1 , 3 Г 2 / 3 Ai ,
n t k x y t y x y  — ядро.
Обозначим      1 , , n x r t — площадь единичной сферы в пространстве
 . n Для вычисления обратного преобразования Фурье перейдем к сфериче-
ским координатам и учтем, что для положительных значений аргумента функ-
ция Эйри выражается через функцию Макдональда
   
    

2/3 1/3 3/2
1/3
1
Ai 2 / 3 , 0.
3
y y K y y
Имеем
   
       

2/3
2/3
1
3 Г 2 / 3
, Ai
2π n
ixt
n n k x y t y e dt
 
 
   
     
      

  1
2/3 2/3 /2 cos 2
0 0
3 Г 2 / 3 Ai sin
2
n n ir n
n y d e d
 
 
   



     


2/3
2/3 /2
/2 1
/2 /2 1
0
3 Г 2 / 3 Ai
2
n
n
n n y J r d
r
 
 
   




    
 

2/3
3/2 1/3 /2
1/3 /2 1
/2 /2 1 0
3 Г 2 / 3
2 / 3 ,
2 3
n
n
n n
y K y J r d
r
где  
 
/2 1 n J r — функция Бесселя первого рода порядка   ν / 2 1.n Приведен-
ная формула справедлива и при 1, n что легко проверить. Последний интеграл
выражается через гипергеометрическую функцию F [14]: