2 / 14
Точное решение задачи Дирихле для вырождающегося на границе эллиптического уравнения…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5
5
Ограниченное (при
)
y
решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в
полупространстве
Δ ,
0,
,
0,
n
u x y
x
y
, 0
,
,
n
u x
x x
представим интегралом Пуассона [4, 5]
1 /2
1 /2
2 2
Г 1 / 2
,
.
n
n
n
n
y t
u x y
dt
x t
y
Аналогичную формулу можно вывести при решении задачи Дирихле для
уравнения типа Трикоми — Келдыша (1) с помощью преобразования Фурье по
переменным в граничной гиперплоскости
0
y
в случае
1
m
и методом подо-
бия при
2.
m
В такой формуле в частности содержится интегральная формула
Пуассона
0 ,
m
которую также можно получить с помощью преобразования
Фурье. Для
2
0
m
ранее эта формула была получена методом преобразования
Фурье в работе [6] Л.С. Парасюком. В случае
0
m
при вычислении многомер-
ных преобразований Фурье возникают большие трудности (кроме случая
1,
m
рассмотренного далее). В связи с этим применим метод подобия
.
С его помощью
найдем
автомодельное решение
уравнения (1) для любого
2,
m
которое явля-
ется
аппроксимативной единицей
в пространстве интегрируемых функций. Ре-
шение задачи Дирихле представим в виде свертки этого автомодельного решения
уравнения (1) с граничной функцией (если свертка существует). Из общих
свойств аппроксимативной единицы следует, что в случае ограниченной кусочно-
непрерывной граничной функции эта свертка записывается в виде интеграла и
дает классическое решение задачи Дирихле. В случае, например, граничной функ-
ции, являющейся обобщенной функцией медленного роста, свертка позволяет
найти обобщенное решение задачи Дирихле. В частности, ядро представляет
собой решение задачи Дирихле, где граничной функцией является дельта-
функция Дирака.
Отметим, что методом подобия получены фундаментальные решения для
оператора Трикоми
1,
1
m n
в работах Х. Баррос-Нето и И.М. Гельфанда
[7–9] и методом преобразования Фурье
1,
1
m n
в работе Х. Баррос-Нето и
Ф. Кардозо [10]. Методом преобразования Фурье в работах [11, 12] были реше-
ны задачи Дирихле и Дирихле — Неймана для уравнения Лапласа и Пуассона в
многомерном бесконечном слое.
Постановка задачи. Обозначения.
Введем следующие обозначения:
1
1
1
, ,
, ,
, ,
,
,
;
n
n
n
n
x x x
x y x x y
y
2
2
1 1
1
1
,
,
;
n
n n
n
x x
x xt x t
x t dx dx dx