10 / 14
Точное решение задачи Дирихле для вырождающегося на границе эллиптического уравнения…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5
13
2/3
1
1
1
/2 1/3
/2 1/3
2
3
2
3
2
,
,
9
4 9
4
n
n
n
n
n
n
C y
C y
k x y
y x
y
x
где
2/3
1/2
2/3
*
1
1
/2
1/3 /2 1
2 3 Г / 2 1/ 3 3 Г 2 / 3 Г / 2 1/ 3
2
.
Г 1/ 3
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
C
C
Покажем, что функция
,
,
nm
k x y
определяемая по формуле (14), является
аппроксимативной единицей в пространстве интегрируемых в
n
функций,
т. е. обладает следующими свойствами при
0 :
y
1)
,
0;
nm
k x y
2)
,
1;
n
nm
k x y dx
3) для
0 δ
δ 0 , lim sup
,
0.
nm
y
x
k x y
Свойства 1 и 3 доказывают так же, как и для
1.
m
Докажем свойство 2.
Имеем
2 /2
2 /2
1
,
1.
n
n
n
nm
n m
m
x
k x y dx
dx
t dt
y
y
Следовательно, решение задачи Дирихле для уравнения типа Трикоми может
быть записано в виде свертки граничной функции
x
с ядром
,
nm
k x y
(ес-
ли свертка существует)
,
,
.
nm
u x y
x k x y
Если
x
— ограниченная кусочно-непрерывная функция, то свертка суще-
ствует и записывается в виде интеграла
/2 1/
2
2
2
2
,
.
2 / 2
n
nm
n m
m
t y
u x y C
dt
y
m
x t
В точках непрерывности функции
x
0
lim ,
,
y
u x y
x
т. е. интеграл
представляет собой классическое решение задачи Дирихле.
Для обобщенных функций медленного роста
,
n
x
для которых
свертка существует, функция
,
,
nm
u x y
x k x y
является обобщенным решением задачи Дирихле,
0
lim ,
в .
y
u x y
x
Например, если
,
x
x
то решением задачи Дирихле будет ядро интег-
рала