5 / 14
О.Д. Алгазин
8
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5
3/2 1/3 /2
1/3
/2 1
0
2 / 3
n
n
K
y
J
r d
1/3
2
/2 1 3 /2 1/2
3
3 Г / 2 1/ 3
1
9
,
;
;
2
2 3 2 2 4
n
n
n
n
n n n r
F
y
y
/2 1/3
1/3
2
/2 1 3 /2 1/2
3
3 Г / 2 1/ 3
9 1
.
2
4
n
n
n
n
n
r
y
y
Окончательно получаем выражение для ядра
*
1
1
/2 1/3
2
3
,
,
,
0,
4 9
n
n
n
n
y
k x y C
x
y
y x
1/2
*
1
1/3 /2 1
3 Г 2 / 3 Г / 2 1/ 3
.
2
n
n
n
n
C
Ядро имеет следующие свойства при
0 :
y
1)
1
,
0;
n
k x y
2)
1
,
1;
n
n
k x y dx
3) для
1
0 δ
δ 0, lim sup ,
0.
n
y
x
k x y
Свойство 1 очевидно. Свойство 2 следует из того, что преобразование
Фурье от
,
n
k x y
есть
2/3
2/3
3 Г 2 / 3 Ai
t y
,
2/3
2/3
1
,
3 Г 2 / 3 Ai
.
n
ixt
n
k x y e dx
t y
Полагая
0,
t
получаем
2/3
1
,
3 Г 2 / 3 Ai 0 1.
n
n
k x y dx
Свойство 3 вытекает из того, что
1
,
n
k x y
монотонно убывающая функция
.
x
Перечисленные свойства означают, что
1
,
n
k x y
—
аппроксимативная
единица
, или δ-образная система функций
x
(с параметром
y
), при
1
0,
,
n
y
k x y
слабо сходящаяся к δ-функции
δ .
x
Если
x
является ограниченной кусочно-непрерывной функцией, то
свертка (8) существует и записывается в виде интеграла
*
1
/2 1/3
2
3
,
.
4 9
n
n
n
t y
u x y C
dt
y x t