Точное решение задачи Дирихле для вырождающегося на границе эллиптического уравнения типа Трикоми - Келдыша в полупространстве

9 / 14

О.Д. Алгазин
12 ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5
   
 
 
       
   
   
 
 
 
 

1
1 1 1 /2 1/ 2
2
0 2 2
1
2
n
n
nm nm n n m
r dr
C C x dx
m r
     
  
 
 
   
   
      
 
         
   
 

/2 1 1
1 1
/2 1/ 2
0
1
Г Г
2 2 2 .
1
2 2 1 Г
2 2 2
2
n n
n n
n n n m
n
t m
dt
n
m m t
m
Здесь выполнена замена переменной     
   
   
2
2
2
m r t и использована формула
 
   
 
 
   
 

1
0
Г Г , 0, 0,
Г 1
a
b c
a b t dt a b
a b t
где Г — гамма-функция Эйлера. Таким образом, имеем
   
     


 
    

/2
1
2 Г
2 2 .
1
2 Г
2
n
nm
n n
n
m
m
C
m
(13)
Автомодельное решение уравнения типа Трикоми — Келдыша, которое по-
лучено по формуле (11), обозначим как
       
 
  
 
  2 /2 2 /2
1
,
nm n m m
x
k x y
y y
 
 

  
   
    
 
 
 
/2 1/ 2
2
2
2
, 2,
2
2
nm
n m
m
C y m
m yx
(14)
где nm C — константа, определяемая по формуле (13).
При  0 m получаем ядро Пуассона
 
    

0
0 1 /2
2
2
, . n
n n
C y
k x y
y x
Здесь
   
  


 0 1 /2
Г 1 / 2
.
n n
n
C
При  1 m получаем ядро интегрального представления решения задачи
Дирихле (5)–(7), найденное выше методом преобразования Фурье: