11 / 14
О.Д. Алгазин
14
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5
,
,
,
,
nm
nm
u x y
x k x y k x y
0
lim ,
в .
nm
y
k x y
x
Если
, 1
,
p n
x L
p
то из свойств аппроксимативной единицы [5]
следует, что
0
lim ,
y
u x y
x
для почти всех
,
x
если
,
p
то функция
,
u x y
сходится к
x
по норме
p n
L
при
0.
y
Пример.
В случае
1,
1
n m
имеем задачу Дирихле для уравнения Кел-
дыша
0,
,
0;
xx
yy
u yu
x y
, 0
,
;
u x
x
x
,
ограничена при
.
u x y
y
Если
x
— ограниченная кусочно-непрерывная функция, то решение
этой задачи представим интегралом
3/2 2
,
2
.
4
y t dt
u x y
y x t
Возьмем
,
0;
,
0,
a x
x
b x
тогда
0
3/2
3/2
2
2
0
,
2
2
4
4
dt
dt
u x y ay
by
y x t
y x t
2
.
2
2 4
a b b a x
y x
(15)
Легко проверить, что функция (15)
1)
удовлетворяет уравнению Келдыша
0,
0;
xx
yy
u yu
y
2)
ограничена
,
max ,
,
0;
u x y
a b y
3)
удовлетворяет краевому условию
0
,
0
lim ,
.
,
0
2 2
y
a x
a b b a x
u x y
x
b x
x