7 / 13
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2016. № 3
9
◄
С учетом оценок (10) для коэффициентов
n
С
имеем
( )
( )
( )
N
N
y x y x y x
0
0
0
0
(
)
(
)
N
n
n
n
n
n
n
C x x
C x x
0
1
n
n
n N
C x x
1
1
0
2 2
0
1
1
1
1
n
n
n
k
n
n
n N
n N
C x x
k M M x x
n
1
1
1
2 2
0
1
2
0
1
1 1
1
N
N
k
N
k
M M
x x
k
N
k M x x
,
при этом
1
2
0
1
1
k
k M x x
. Следовательно, теорема доказана. ►
Пример 1.
Рассмотрим задачу Коши (2), (3), где
5,
k
( ) 0,
r x
0
0,
x
0
1 / 2.
y
Эта задача имеет точное решение
4
1
( )
.
16 4
y x
x
Вычислим радиус области аналитичности с учетом начального условия
задачи Коши
2
0,188235294.
Выберем значение
1
0,09,
x
принадлежащее области
0
2
|
|
.
x x
Расчеты, связанные с оценкой приближенного решения уравнения в
случае точного значения начального условия, приведены ниже:
1
x
1
( )
y x
3 1
( )
y x
1
2
0,09
0,502852731 0,502852718 1,2·10
–8
0,002503452 10
–6
Здесь введены следующие обозначения:
1
( )
y x
— значение точного
решения данного уравнения;
3 1
( )
y x
— значение приближенного реше-
ния;
— абсолютная погрешность;
1
— априорная погрешность,
найденная по теореме 2;
2
— апостериорная погрешность.
С использованием теоремы 2 можно решить обратную задачу тео-
рии погрешности, связанную с нахождением апостериорной погрешно-
сти, т. е. определить значение
N
по заданной точности
1
приближен-
ного решения. Для
6
1
10
получаем значение
12.
N
Фактически,
для
4, 5, 6,
, 12
N
определяем уточнения приближенного решения
3 1
( ),
y x
которые в общей сумме не превышают требуемой точности
1
.
В связи с этим можно ограничиться в структуре приближенного реше-