10 / 13
12
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2016. № 3
Пример 2.
Построим первое аналитическое продолжение для при-
ближенного решения задачи Коши, рассмотренной в примере 1.
Начальное условие задачи Коши (13), (14):
0
(0,09) 0,502852718.
y
Значение возмущения
M
не превышает абсолютной погрешности
8
1,2 10 .
Вычислим
5
0,18798077.
Выберем значение
2
0,18,
x
принадлежащее области аналитично-
сти
0 5
.
x x
Расчеты, связанные с оценкой приближенного реше-
ния уравнения в случае возмущенного значения начального условия,
приведены ниже:
2
x
2
( )
y x
3 2
( )
y x
1
2
0,18 0,505788745 0,505788719 2,7·10
–8
0,002534567 10
–7
Здесь введены следующие обозначения:
2
( )
y x
— значение точного реше-
ния;
3 2
( )
y x
— значение приближенного решения;
— абсолютная по-
грешность;
1
— априорная погрешность, найденная по теореме 3;
2
— апостериорная погрешность.
Получаем решение обратной задачи теории погрешности (см. реше-
ние, приведенное в примере 1), и апостериорную погрешность. Опреде-
ляем значение
N
по заданной точности
2
приближенного решения
(12). При
7
2
10
15.
N
Фактически, для
4, 5, 6, , 15
N
получаем
уточнения аналитического приближенного решения, которые в общей
сумме не превышают требуемой точности
2
.
Следовательно, в струк-
туре аналитического приближенного решения можно ограничиться зна-
чением
3.
N
При этом находим апостериорную погрешность
2
для
приближенного решения
3 2
( ),
y x
равную значению
7
2
10 .
Обсуждение полученных результатов и их сопоставление с ра-
нее найденными результатами.
Результаты позволяют построить
приближенное решение задачи Коши для уравнения (2) в области ана-
литичности с любой заданной точностью. Для оптимизации структуры
приближенного аналитического решения используется апостериорная
погрешность.
Следует отметить, что ранее в работах [6, 7] были получены и изу-
чены приближенные решения для уравнений
3
( )
( ) ( )
y x y x r x
и
4
( )
( ) ( )
y x y x r x
в области аналитичности, представляющих собой
частные случаи уравнения (2). Анализ результатов, приведенных в
этих работах, и результатов, полученных в настоящей работе, позволя-
ет сделать следующие выводы. Оценки коэффициентов
n
С
, найденные