11 / 13
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2016. № 3
13
по формуле (10) для случаев
3
k
и
4
k
, являются улучшенными по
сравнению с оценками этих коэффициентов, полученными в указанных
выше работах. Что касается областей сходимости соответствующих
регулярных рядов, то они существенно увеличены по сравнению с ре-
зультатами, изложенными в работах [6, 7]. Проиллюстрируем это на
следующем примере.
Пример 3.
Рассмотрим задачу Коши из работы [7]:
4
( )
( ),
y x y x
3
(0,1) 1 3, 7 .
y
Эта задача имеет точное решение
3
1
( )
.
3 4
y x
x
Вычислим
2
0,1968085106
.
Выберем значение
1
0,12,
x
принадлежащее области
0 2
x x
.
Имеем
(0,12)
0,6500791026
y
и
3
(0,12)
0,6500790961
y
,
9
6,5 10
— абсолютная погрешность приближенного решения. Обо-
значим значения, взятые из работы [7], индексом «*». Результаты рас-
четов приведены ниже (
1
— априорная погрешность, найденная по
теореме 2):
2
*
2
1
*
1
0,1968085106 0,0560039177 0,0000047969 0,0109049371
Построим аналитическое продолжение для приближенного решения
рассматриваемой задачи Коши. Начальные данные:
0
0,12,
x
0
0,650079096.
y
По формуле (15)
5
0,1961206909.
Выберем значе-
ние
2
0,143
x
, принадлежащее области
0 5
.
x x
Имеем
(0,143)
y
0,6542394327,
3
(0,143) 0,6542394137,
y
8
1,9 10
— абсолютная
погрешность соответствующего приближенного решения. Результаты
расчетов представлены ниже (
2
— априорная погрешность, найденная
по теореме 3):
5
*
5
2
*
2
0,1961206909
0,0556449448 0,0000087138
0,02115635599
В результате проведенных расчетов имеем значение априорной по-
грешности, значительно меньшее значения, указанного в работе [7].
Заключение.
Доказана теорема существования и единственности
решения рассматриваемого нелинейного дифференциального уравне-
ния в области аналитичности, для которого построено аналитическое
приближенное решение и исследовано влияние возмущения начально-
го условия на приближенное решение. Получены оценки приближен-
ных решений. Теоретические результаты подтверждены расчетами.