5 / 13
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2016. № 3
7
◄
Из условия теоремы следует, что функция
( )
r x
является анали-
тической функцией в области (4) и может быть представлена в виде
0
0
( )
.
n
n
n
r x
A x x
(7)
Подставляя ряд (6) в уравнение (2) с учетом (7), получаем
0
0
0
0
0
0
k
n
n
n
n
n
n
n
n
n
C x x
C x x
A x x
.
Выполнив соответствующие преобразования, имеем
1
0
0
0
1
0
0
,
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n C x x
B x x
A x x
или
1
0
0
1
0
.
n
n
n
n n
n
n
n C x x
B A x x
(8)
Здесь
1
1
0
k
k
n
n
n i
i
B
C
1
2
3
2
1 2
2 3
3 2
2 1 1
2
3
2
1
0
0
0
0
.
k
k
k k
k
k
k
k
i
i
i
i
i
i
i
i
i i
i i i
i
i
i
i
C
C
C
C C
Равенство (8) обратится в тождество при условиях
1
1
,
n n
n
n C B A
1, 2,
n
(9)
Рекуррентное соотношение (9) позволяет однозначно определить
все коэффициенты
1 2
,
,
,
,
n
С C C
Таким образом, получено фор-
мальное единственное представление решения задачи Коши (2), (3) в
области
0
1
|
|
x x
в виде степенного ряда (6).
На основе соотношения (9) для коэффициентов структуры реше-
ния (6), получим
( 1) 1 0 0 1
1
( , , , ,
)
n n k
n
С P C A A A
,
1, 2,
,
n
где
( 1) 1
n k
P
— полином степени
( 1) 1
n k
от
0 0 1
1
, , ,
,
n
C A A A
с поло-
жительными рациональными коэффициентами.