6 / 13
8
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2016. № 3
Докажем сходимость ряда (6) в области
0
2
|
|
.
x x
Примем
( )
0
2
0
|
|
max | |, sup
!
n
n
r x
M
y
n
,
0, 1, 2,
,
n
что возможно в силу (5).
Учитывая выражения для коэффициентов
n
С
, полученные с помо-
щью программного обеспечения, приходим к следующей гипотезе
оценок:
1
1
2 2
1
|
|
1
n
n
k
n
C k M M
n
,
1, 2, 3,
n
(10)
Доказательство оценок (10) проведено методом математической
индукции на основании рекуррентного соотношения (9).
Составим вспомогательный ряд
1
1
2
2 2
1
1
1
n
n
k
n
M k M M
n
0
(
) ,
n
x x
который является мажорирующим для ряда (6). По призна-
ку Даламбера получаем сходимость мажорирующего ряда в области
0
1
2
1
|
|
.
1
k
x x
k M
Следовательно, эта область будет являться обла-
стью сходимости и для ряда (6). Полагая,
2
1
1
2
1
min ,
,
1
k
k M
получаем сходимость ряда (6) в области
0
2
|
|
,
x x
что и завершает
доказательство теоремы. ►
Оценки для коэффициентов
n
С
ряда (6), полученные в теореме 1,
позволяют построить приближенное решение задачи Коши (2), (3) в
виде
0
0
( )
N
N
n
n
n
y x
C x x
.
(11)
Теорема 2.
Пусть выполняются условия 1 и 2 теоремы 1, тогда
для аналитического приближенного решения (11) задачи Коши (2)
,
(3)
справедлива оценка погрешности
1
1
1
2 2
0
1
2
0
1 |
|
( )
1 1
1 |
|
N
k
N
N
N
k
M M
x x
k
y x
N
k M x x
в области
0
2
|
|
,
x x
где
2
и
2
M
— величины, введенные в теореме 1.