4 / 13
6
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2016. № 3
где
2 1
1
/2
exp
;
k
k
k k
f f
w
f
dx
C f
1
k
k
f w dx
, уравнение (1) приво-
дится к нормальной форме
( )
( ) ( )
k
u u
I x
, при этом
k
k
f w I
1
1 1
1
0
1
1
1
1
k
k
k
k
k k
k
k
k
f
d f
f f
k
f
k dx f
k f
k f
.
Рассмотрим задачу Коши
( )
( ) ( ),
k
y x y x r x
3
k
;
(2)
0
0
( )
y x y
.
(3)
Докажем существование и единственность аналитического реше-
ния задачи (2), (3). Известная теорема Коши о существовании и един-
ственности решения задачи Коши, относящаяся к одному подходу
доказательства теоремы, не позволяет решить поставленную задачу.
В работах [1–6] предложен другой подход в доказательстве теорем —
метод мажорант, который применяется не к правой части дифференци-
ального уравнения как в классическом случае, а к решению уравнения.
Такой подход позволяет получить решение поставленной задачи.
Теорема 1.
Пусть функция
( )
r x
задачи Коши (2), (3) удовлетворя-
ет следующим условиям:
1)
( )
r x C
в области
0 1
|
|
,
x x
(4)
где
1
const 0;
2)
1
:
M
( )
1
|
( )|
!
n
r x M
n
(5)
x
из области (4), где
1
const,
M
0, 1, 2
n
Тогда решение этой
задачи Коши является аналитической функцией
0
0
( )
n
n
n
y x
С x x
(6)
в области
0
2
|
|
,
x x
где
2
1
1
2
1
min ,
1
k
k M
,
( )
0
2
0
|
|
max | | , sup
!
n
n
r x
M
y
n
,
0, 1, 2,
n