3 / 13
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2016. № 3
5
1) доказательство теоремы существования и единственности реше-
ния дифференциального уравнения в области аналитичности;
2) построение аналитического приближенного решения рассматри-
ваемого уравнения в области аналитичности;
3) исследование влияния возмущения начального условия на при-
ближенное решение в области аналитичности;
4) доказательство теоремы существования и единственности реше-
ния дифференциального уравнения в окрестности подвижной особой
точки;
5) построение аналитического приближенного решения рассматри-
ваемого уравнения в окрестности подвижной особой точки;
6) исследование влияния возмущения подвижной особой точки на
приближенное решение в окрестности подвижной особой точки;
7) нахождение точных границ области применения приближенного
решения рассматриваемого уравнения в окрестности возмущенного
значения подвижной особой точки;
8) получение необходимых и достаточных условий существования
подвижных особых точек уравнения;
9) разработка алгоритма и программы нахождения подвижной осо-
бой точки с заданной точностью на конечном промежутке.
Следует отметить, что ранее такой метод применялся не только к
скалярным дифференциальным уравнениям Риккати, Абеля и Пенлеве,
но и к матричным дифференциальным уравнениям Риккати [1–6]. В по-
следнее время появились работы [7–10], в которых упомянутый выше
приближенный метод получил дальнейшее развитие.
В настоящей работе предложено решение первых трех перечис-
ленных задач для класса нелинейных дифференциальных уравнений
первого порядка с полиномиальной правой частью.
Результаты.
Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравне-
ние, в общем случае не разрешимое в квадратурах, решение которого
обладает подвижными особыми точками алгебраического типа [11]:
0
( )
( ),
k
i
i
i
y x
f y x
3
k
.
(1)
Здесь
,
0, 1, ,
i
f i
k
— функции вещественной переменной
x
.
С помощью подстановки
1
( ) ( )
k
k
f
y w x u
k f
при условиях
1
2
3
4
1
2
3
3
4
2
5
4
3
2
3
4
( 1)
( 2)
( 3)
( 3)
( 4)
( 2) ,
5
4
3
k
k
k
k
k
k
k
k
f
f
f
f
k f
k f
k f
k f
k f
k f
k f
f
f
f