6 / 22
Здесь
< u
(1)
i
>
=
0
,
5
Z
−
0
,
5
u
(3)
i
dξ.
(13)
— операция осреднения по толщине пластины.
Уравнения установившихся колебаний (8) после введения функций
h
(0)
i
, h
(1)
i
, h
(2)
i
принимают вид
h
(0)
i
+
κh
(1)
i
+
κ
2
h
(2)
i
+
. . .
= 0
.
(14)
Решение локальной задачи нулевого приближения (9) — функции
u
(1)
j
, ε
(0)
kl
, σ
(0)
ij
, зависящие от локальных координат
ξ
l
и входных данных
этой задачи — перемещений
u
(0)
j
(
x
J
)
. Решением задачи (10) являются
функции
u
(2)
j
, ε
(1)
kl
, σ
(1)
ij
, а функции
u
(1)
j
, σ
(0)
ij
в этой задаче — входные
данные. В задаче (11) функции
u
(3)
j
, ε
(2)
kl
, σ
(2)
ij
неизвестны, а функции
u
(2)
j
, ε
(1)
kl
, σ
(1)
ij
— входные данные и т.д.
Решение задачи нулевого приближения.
Ввиду того, что задачи
(9)–(11) являются одномерными по локальной переменной
ξ
, их ре-
шение можно найти аналитически. Решение уравнений равновесия с
граничными условиями в локальной задаче (9) имеет вид
σ
(0)
i
3
= 0
,
∀
ξ
:
−
0
,
5
< ξ <
0
,
5
.
(15)
Подставляя в (15) выражение (7) для
σ
(0)
i
3
, получаем
C
i
3
KL
ε
(0)
KL
+
C
i
3
k
3
ε
(0)
k
3
= 0
.
(16)
Выразим из системы уравнений (16) деформации
ε
(0)
k
3
=
−
C
−
1
k
3
i
3
C
i
3
KL
ε
(0)
KL
,
(17)
где
C
−
1
i
3
k
3
— матрица компонент, обратная матрице
C
i
3
k
3
. Подставляя в
(16) выражения для деформаций
ε
(0)
k
3
из (9), после интегрирования с
учетом условий
< u
(1)
i
>
= 0
, находим перемещения
u
(1)
I
=
−
ξu
(0)
3
,I
+ 2
ε
(0)
KL
<
ξ
Z
−
0
,
5
C
−
1
I
3
i
3
C
i
3
KL
dξ >
−
ξ
Z
−
0
,
5
C
−
1
I
3
i
3
C
i
3
KL
dξ
;
u
(1)
3
=
ε
(0)
KL
<
ξ
Z
−
0
,
5
C
−
1
33
i
3
C
i
3
KL
dξ >
−
ξ
Z
−
0
,
5
C
−
1
33
i
3
C
i
3
KL
dξ .
(18)
Здесь учтено, что деформации
ε
(0)
KL
(
x
J
)
согласно (9) не зависят от
переменной
ξ
.
Подставляя выражение (18) в первую группу соотношений (7),
104
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6