4 / 22
Асимптотические разложения для многослойной пластины.
Задача (2) содержит локальную координату
ξ
, а также малый па-
раметр
κ
в граничных условиях (это коэффициент при давлении),
поэтому ее решение будем искать в виде асимптотических разложе-
ний по параметру
κ
в виде функций, зависящих от глобальных и
локальной координат:
u
k
=
u
(0)
k
(
x
I
) +
κu
(1)
k
(
x
I
, ξ
) +
κ
2
u
(2)
k
(
x
I
, ξ
) +
κ
3
u
(3)
k
(
x
I
, ξ
) +
. . .
(3)
Здесь и далее индексы, обозначенные прописными буквами
“
I, J, K, L
” принимают значения 1, 2, а индексы, обозначенные строч-
ными буквами “
i, j, k, l
”, — значения 1, 2, 3.
Подставим разложения (3) в соотношения Коши в системе (2), при
этом используем правила дифференцирования функций локальных ко-
ординат [7] (
∂/∂
˜
x
j
→
∂/∂x
j
+ (1
/κ
)
δ
j
3
∂/∂ξ
), тогда получим асимпто-
тические разложения для деформаций
ε
ij
=
ε
(0)
ij
+
κε
(1)
ij
+
κ
2
ε
(2)
ij
+
. . . ,
(4)
где
ε
(0)
IJ
=
1
2
(
u
(0)
I,J
+
u
(0)
J,I
)
, ε
(0)
I
3
=
1
2
(
u
(0)
3
,I
+
u
(1)
I/
3
)
, ε
(0)
33
=
u
(1)
3
/
3
;
ε
(1)
IJ
=
1
2
(
u
(1)
I,J
+
u
(1)
J,I
)
, ε
(1)
I
3
=
1
2
(
u
(1)
3
,I
+
u
(2)
I/
3
)
, ε
(1)
33
=
u
(2)
3
/
3
;
ε
(2)
IJ
=
1
2
(
u
(2)
I,J
+
u
(2)
J,I
)
, ε
(2)
I
3
=
1
2
(
u
(2)
3
,I
+
u
(3)
I/
3
)
, ε
(2)
33
=
u
(3)
3
/
3
и т.д.
(5)
Здесь
u
(1)
i/
3
=
∂u
(1)
i
/∂ξ
,
u
(1)
i,j
=
∂u
(1)
i
/∂x
j
— производные по локальной
и глобальным координатам.
Подставляя выражение (4) в закон Гука в системе (2), получаем
асимптотическое разложения для напряжений
σ
ij
=
σ
(0)
ij
+
κσ
(1)
ij
+
κ
2
σ
(2)
ij
+
. . . ,
(6)
где
σ
(0)
IJ
=
C
IJKL
ε
(0)
KL
+
C
IJk
3
ε
(0)
k
3
, σ
(0)
i
3
=
C
i
3
KL
ε
(0)
KL
+
C
i
3
k
3
ε
(0)
k
3
;
σ
(1)
IJ
=
C
IJKL
ε
(1)
KL
+
C
IJk
3
ε
(1)
k
3
, σ
(1)
i
3
=
C
i
3
KL
ε
(1)
KL
+
C
i
3
k
3
ε
(1)
k
3
;
σ
(2)
IJ
=
C
IJKL
ε
(2)
KL
+
C
IJk
3
ε
(2)
k
3
, σ
(2)
i
3
=
C
i
3
KL
ε
(2)
KL
+
C
i
3
k
3
ε
(2)
k
3
и т.д.
(7)
Формулировка локальных задач.
Подставляя разложения (3), (4)
и (6) в уравнения установившихся колебаний и граничные условия
102
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6