12 / 22
Система (48) имеет четвертый порядок относительно прогиба
u
(0)
3
, как
в классической теории пластин Кирхгофа – Лява, и третий порядок
производных относительно продольных перемещений
u
(0)
I
, чем отли-
чается от теории Кирхгофа – Лява. Отличается она также наличием
слагаемых при
ˉ
G
IJi
,
R
IKL
и
ˆ
G
IJi
. Нелинейная зависимость переме-
щений
u
k
от переменной
ξ
обусловлена различием модулей упругости
для разных слоев пластины.
Напряжения межслойного сдвига и поперечные напряжения
в пластине.
После того как решены осредненные уравнения (48) и
найдены функции
u
(0)
I
,
u
(0)
3
, можно вычислить деформации (47), а за-
тем напряжения
σ
(0)
IJ
по формулам (19). Сдвиговые напряжения
σ
(0)
I
3
и поперечное напряжение
σ
(0)
33
, как было установлено, в пластине то-
ждественно равны нулю. Ненулевые значения сдвиговых напряжений
появляются у следующего члена асимптотического разложения:
σ
(1)
I
3
(согласно (30)). Для поперечного напряжения первое в асимптотиче-
ском ряду ненулевое значение — значение
σ
(1)
33
, которое вычисляется
по (30), а члены разложения
σ
(2)
33
и
σ
(3)
33
— по (28), (29):
σ
33
=
κ
ξ
Z
−
0
,
5
(
< ρ >
−
ρ
)
ω
2
u
(0)
3
dξ
+
+
κ
2
ξ
Z
−
0
,
5
(
< σ
(1)
3
J,J
>
−
σ
(1)
3
J,J
+(
< ρ >
−
ρ
)
ω
2
u
(1)
i
)
dξ
+
κ
3
(
−
p
−
−
Δ
p
(
ξ
+0
,
5) +
+
ξ
Z
−
0
,
5
(
< σ
(2)
3
J,J
>
−
σ
(2)
3
J,J
+
ω
2
(
< ρu
(2)
i
>
−
ρu
(2)
i
))
dξ
);
(49)
σ
I
3
=
κ
ξ
Z
−
0
,
5
(
< σ
(0)
IJ,J
>
−
σ
(0)
IJ,J
+ (
< ρ >
−
ρ
)
ω
2
u
(0)
I
)
dξ
+
+
κ
2
ξ
Z
−
0
,
5
(
< σ
(1)
IJ,J
>
−
σ
(1)
IJ,J
+
ω
2
(
< ρu
(1)
I
>
−
ρu
(1)
I
))
dξ.
(50)
Таким образом, разработанная теория тонких пластин позволяет найти
все шесть компонент тензора напряжений.
Изгибные колебания симметричной многослойной композит-
ной пластины.
Рассмотрим в качестве примера классическую зада-
чу об установившихся изгибных колебаниях многослойной пластины
прямоугольной формы под действием равномерно распределенного
110
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6