11 / 22
ˆ
G
IJi
=
κ
2
< ξG
IJi
>
=
κ
2
< C
IJk
3
C
−
1
k
3
i
3
ξ
ξ
Z
−
0
,
5
(
< ρ >
−
ρ
)
dξ >
;
ˉ
G
=
κ <
ξ
Z
−
0
,
5
(
< ρ >
−
ρ
)
dξ >
— тензоры осредненных упругих констант пластины.
В частном случае, когда выполняются следующие условия: 1) слои
пластины расположены симметрично относительно плоскости
ξ
= 0
;
2) толщины всех слоев одинаковы, функции вида
< C
(0)
PMKL
>
−
C
(0)
PMKL
будут симметричными относительно плоскости, а функции
ξ
Z
−
0
,
5
(
< C
(0)
PMKL
>
−
C
(0)
PMKL
)
— антисимметричными, поэтому при-
веденные ниже функции являются нулевыми:
B
IJKL
= 0
, K
IJKLM
= 0
, K
IJKL
= 0 ˉ
G
IJi
= 0
,
(45)
а определяющие соотношения (41)–(43) принимают более простой вид
T
IJ
= ˉ
C
IJKL
ε
(0)
KL
, M
IJ
=
D
IJKL
η
KL
+ ˉ
K
IJKLM
ε
(0)
KL,M
+
ω
2
ˆ
G
IJi
u
(0)
i
,
(46)
который для моментов имеет вид, отличный от вида уравнений клас-
сической теории пластин Кирхгофа – Лява и Тимошенко [20] ввиду
наличия второго и третьего слагаемых.
Осредненные кинематические соотношения теории пластин.
В систему осредненных определяющих соотношений (41)–(43) входят
деформации срединной поверхности
ε
(0)
KL
, кривизны
η
KL
и градиенты
деформаций
ε
(0)
KL,N
, которые зависят от трех функций
u
(0)
I
,
u
(0)
3
глобаль-
ных переменных
x
I
:
ε
(0)
IJ
=
1
2
(
u
(0)
I,J
+
u
(0)
J,I
)
, η
KL
=
−
u
(0)
3
,KL
.
(47)
Осредненная система уравнений для установившихся колеба-
ний многослойных пластин.
Подставляя далее выражения (41)–(43)
и (47) в систему (40), получаем систему относительно трех неизвест-
ных функций
u
(0)
I
,
u
(0)
3
:
ˉ
C
IJKL
u
(0)
K,LJ
−
B
IJKL
u
(0)
3
,KLJ
+
K
IJKLM
u
(0)
K,LMJ
+
+
ω
2
( ˉ
G
IJi
+
< ρ > δ
i
3
)
u
(0)
i,J
= 0;
B
IJKL
u
(0)
K,LJI
−
D
IJKL
u
(0)
3
,KLJI
+ ˉ
K
IJKLM
u
(0)
K,LMJI
+
ω
2
ˆ
G
IJi
u
(0)
i,IJ
−
−
ω
2
(
Ru
(0)
3
,II
−
u
(0)
K,LI
R
IKL
+ ˉ
ρu
(0)
3
) = Δˉ
p.
(48)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6
109