9 / 22
С учетом формул (33) выражения (32) принимают вид
σ
(1)
IJ
=
ξC
(0)
IJKL
η
KL
+ ˜
N
(0)
IJKLM
ε
(0)
KL,M
+
ω
2
G
IJi
u
(0)
i
;
˜
N
(0)
IJKLM
=
N
(0)
IJKLM
+
Φ
IJKLM
.
(36)
Вычислим перемещения
u
(2)
i
второго приближения, используя
третью формулу в (7) и пятую формулу в (5):
u
(2)
I/
3
=
−
u
(1)
3
,I
+
+ 2
C
−
1
I
3
i
3
(
σ
(1)
i
3
−
C
i
3
KL
ε
(1)
KL
)
. После интегрирования этого выражения
с учетом условий
< u
(2)
i
>
= 0
, находим перемещения
u
(2)
i
u
(2)
I
=
<
ξ
Z
−
0
,
5
u
(1)
3
,I
dξ >
−
ξ
Z
−
0
,
5
u
(1)
3
,I
dξ
−
2
<
ξ
Z
−
0
,
5
C
−
1
I
3
i
3
(
σ
(1)
i
3
−
C
i
3
KL
ε
(1)
KL
)
dξ >
+
+ 2
ξ
Z
−
0
,
5
C
−
1
I
3
i
3
(
σ
(1)
i
3
−
C
i
3
KL
ε
(1)
KL
)
dξ.
Осредненные уравнения установившихся колебаний много-
слойных пластин.
Подставляя выражения (24), (25) в асимптотиче-
ское разложение (14) уравнений равновесия, получаем
< σ
(0)
iJ,J
>
+
< ρ > ω
2
u
(0)
i
+
κ
(
< σ
(1)
iJ,J
>
+
ω
2
< ρu
(1)
i
>
)+
+
κ
2
(
< σ
(2)
iJ,J
>
+
ω
2
< ρu
(2)
i
>
−
Δ
pδ
i
3
) +
. . .
= 0
.
(37)
Умножим уравнения системы (8) на
ξκ
и проинтегрируем их по
толщине, далее запишем следующее вспомогательное уравнение:
κ
(
< ξσ
(0)
IJ,J
>
+
ω
2
< ρu
(1)
I
ξ >
−
< σ
(1)
I
3
>
)+
+
κ
2
(
< ξσ
(1)
IJ,J
>
+
ω
2
< ρu
(2)
I
ξ >
−
< σ
(2)
I
3
>
) +
. . .
= 0
,
(38)
В (38) учтено, что
< ξσ
(1)
i
3
/
3
>
=
−
< σ
(1)
i
3
>
,
< ξσ
(2)
i
3
/
3
>
=
−
< σ
(2)
i
3
>
в силу граничных условий
Σ
3
±
:
σ
(0)
i
3
= 0
, σ
(1)
i
3
= 0
.
Введем обозначения для усилий
T
IJ
, моментов
M
IJ
и перерезыва-
ющих сил
Q
I
в пластине
T
IJ
=
< σ
(0)
IJ
>
+
κ < σ
(1)
IJ
>
+
. . .
;
M
IJ
=
κ < ξσ
(0)
IJ
>
+
κ
2
< ξσ
(1)
IJ
>
+
. . .
;
Q
I
=
κ < σ
(1)
I
3
>
+
κ
2
< σ
(2)
I
3
>
+
. . . ,
(39)
а также обозначения для обобщенных перемещений пластины
ˉ
ρU
i
=
< ρ > u
(0)
i
+
κ < ρu
(1)
i
>
+
κ
2
< ρu
(2)
i
>
+
. . .
;
ˉ
ρΓ
I
=
κ < ρu
(1)
I
ξ >
+
κ
2
< ρu
(2)
I
ξ >
+
. . . ,
где
ˉ
ρ
=
< ρ >
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6
107