10 / 22
Если в приведенных выражениях сохранить только главные члены
асимптотических разложений, то с учетом (18) имеем
U
i
=
u
(0)
i
;
ˉ
ρΓ
I
=
κ < ρu
(1)
I
ξ >
=
−
Ru
(0)
3
,I
+
ε
(0)
KL
R
IKL
;
R
IKL
= 2
κ <
ξ
Z
−
0
,
5
C
−
1
I
3
i
3
C
i
3
KL
dξ >< ρξ >
−
2
κ < ρξ
ξ
Z
−
0
,
5
C
−
1
I
3
i
3
C
i
3
KL
dξ >
;
R
=
κ < ρξ
2
> .
В результате уравнения (37), (38) можно записать в традиционном для
теории пластин виде уравнений равновесия и уравнений моментов при
установившихся колебаниях
T
IJ,J
+ ˉ
ρω
2
U
I
= 0
, Q
J,J
+ ˉ
ρω
2
U
3
= Δˉ
p, M
IJ,J
−
Q
I
+ ˉ
ρω
2
Γ
I
= 0
.
(40)
Это и есть искомые осредненные уравнения установившихся ко-
лебаний многослойной пластины, здесь использовано обозначение
Δˉ
p
=
κ
2
Δ
p
. Уравнения (40) отличаются от классических уравне-
ний колебаний пластин только наличием слагаемого
ε
(0)
KL
R
IKL
при
коэффициентах
Γ
I
.
Осредненные определяющие соотношения теории пластин.
Подставляя выражения (19), (30), (36) для напряжений
σ
(0)
IJ
,
σ
(1)
IJ
,
σ
(1)
I
3
в
интегралы формул (39), получаем
T
IJ
= ˉ
C
IJKL
ε
(0)
KL
+
B
IJKL
η
KL
+
K
IJKLM
ε
(0)
KL,M
+
ω
2
ˉ
G
IJi
u
(0)
i
;
(41)
M
IJ
=
B
IJKL
ε
(0)
KL
+
D
IJKL
η
KL
+ ˉ
K
IJKLM
ε
(0)
KL,M
+
ω
2
ˆ
G
IJi
u
(0)
i
;
(42)
Q
I
=
K
IJKL
ε
(0)
KL,J
+
ω
2
ˉ
Gu
(0)
I
+
κ
2
< σ
(2)
I
3
>,
(43)
где
ˉ
C
IJKL
=
< C
(0)
IJKL
>
=
< C
IJKL
>
−
< C
IJk
3
C
−
1
k
3
i
3
C
i
3
KL
>
;
(44)
B
IJKL
=
κ < ξC
(0)
IJKL
>, K
IJKLM
=
κ <
˜
N
(0)
IJKLM
>, K
IJKL
=
=
κ <
ξ
Z
−
0
,
5
(
< C
(0)
IJKL
>
−
C
(0)
IJKL
)
dξ >
;
D
IJKL
=
κ
2
< ξ
2
C
(0)
IJKL
>
; ˉ
K
IJKLM
=
κ
2
< ξ
˜
N
(0)
IJKLM
>
;
ˉ
G
IJi
=
κ < G
IJi
>
=
κ < C
IJk
3
C
−
1
k
3
i
3
ξ
Z
−
0
,
5
(
< ρ >
−
ρ
)
dξ >
;
108
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6