3 / 22
пластины
h
к характерному размеру всей пластины
L
(например, к
ее максимальной длине), а также глобальные (
x
k
) и локальную (
ξ
)
координаты
x
k
= ˜
x
k
/L, ξ
=
x
3
/κ, k
= 1
,
2
,
3
,
(1)
где
˜
x
k
— обычные декартовы координаты, ориентированные так, что
ось
O
˜
x
3
направлена по нормали к внешней и внутренней плоско-
стям пластины, а оси
O
˜
x
1
,
O
˜
x
2
принадлежат срединной поверхности
пластины. Полагаем, что существует два масштаба изменения переме-
щений
u
k
: один по направлениям
O
˜
x
1
,
O
˜
x
2
, а второй — по направле-
нию
O
˜
x
3
. Координаты
x
3
и
ξ
, как обычно, в методе асимптотического
осреднения рассматриваются как независимые переменные. Коорди-
ната по толщине пластины изменяется в диапазоне
−
0
,
5
< ξ
3
<
0
,
5
.
Рассмотрим для пластины трехмерную задачу линейной теории
упругости при установившихся колебаниях [17]
∇
j
σ
ij
+
ρω
2
u
i
= 0;
ε
ij
=
1
2
(
∇
j
u
i
+
∇
i
u
j
) ;
σ
ij
=
C
ijkl
ε
kl
;
Σ
3
±
:
σ
i
3
=
−
κ
3
p
±
δ
i
3
,
Σ
T
:
u
i
=
u
ei
,
Σ
S
: [
σ
i
3
] = 0
,
[
u
3
] = 0
,
(2)
состоящую из уравнений установившихся колебаний, соотношений
Коши, обобщенного закона Гука, граничных условий на внешних по-
верхностях пластины оболочки — на внешней и внутренней поверхно-
стях
Σ
3
±
(их уравнение
˜
x
3
=
±
h/
2
) и на торцевой поверхности
Σ
T
, а
также граничных условий на поверхности контакта
Σ
S
слоев пласти-
ны (
[
u
i
]
— скачок функций), которые могут и отсутствовать, например,
для однослойной пластины.
Принимаем основное допущение, состоящее в том, что давление
˜
p
±
на внешней и внутренней поверхностях пластины имеет порядок
малости
O
(
κ
3
)
(
˜
p
±
=
κ
3
p
±
). Это допущение, как правило, соответ-
ствует реальным условиям нагружения тонких пластин. В уравнениях
(2) введены следующие обозначения:
∇
j
=
∂/∂
˜
x
j
— оператор диффе-
ренцирования по декартовым координатам;
σ
ij
— компоненты тензора
напряжений;
ρ
(
ξ
)
— плотность слоев пластины;
ω
— частота вынужден-
ных колебаний;
u
j
— компоненты вектора перемещений;
ε
ij
— компо-
ненты тензора деформаций;
C
ijkl
(
ξ
)
— компоненты тензора модулей
упругости, который полагается зависящим от координаты
ξ
3
=
ξ
, так
как тензор различен для разных слоев пластины. Специального допу-
щения об анизотропии материалов слоев пока не делаем, т.е. тензоры
модулей упругости имеют по 21 независимой компоненте [17, 18].
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6
101