9 / 16
А.В. Калинкин
24
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
При
значение
/(
)
it
e
стремится к
1.
При значениях
u
, близких
к
1,
| ( ) |<1,
l
u
так как
0
0
(1) = < = (1) =1,
l
l
q q
=1, ,
1.
l
k
Учитывая
также (16) при
0
=1,
q
получаем, что предел
ˆ ( )
lim
t
равен пределу
/
/(
)
0
.
(
)
lim
ita
it
e
e
Используя разложение Маклорена
2 2
2
0
0
0
0
0
ln ( ) = (1) ( (1)
(1) ( (1)) ) / 2 ( ),
v
e
v
v
o v
0
v
,
имеем при
2
0
0
0
0
/(
2
0
2
(1)
(1)
(1) ( (1))
)
(
) = exp
(1) .
2
it
e
it
t
o
Перемножая
/
ita
e
на последнее выражение, получаем, с учетом опреде-
лений
а
и
2
,
2
/2
ˆ lim ( ) = .
t
t e
►
Критический случай.
Производящая функция (2) аналитическая в области
| |<1,
r
= 1
r
точка ветвления второго порядка; формула (18) приводит к значе-
нию математического ожидания
{ |
< } = .
M
Теорема 3.
Пусть выполнены условия теоремы 1. В критическом случае, при
фиксированном
[0, ),
x
1/(2 ) 3/2
2
0
0
1
|
< =
,
lim / (
( 1))
2
x
y
x
e
y dy
A B k k
P
где
0
=1, =1
( , )
=
|
;
u s
h u s
A
u
2
=1, =1
2
( , )
=
|
.
u s
h u s
B
s
◄
Применим метод интегральных преобразований для доказательства
предельных теорем [10]. Покажем, что преобразование Лапласа для распределе-
ния нормированной случайной величины,
[0, ),
2
0
( ) = exp
|
<
/ (
( 1))
A B k k
M
стремится при
к функции
2
,
e
являющейся преобразованием Лапла-
са плотности распределения устойчивого закона с показателем
=1/ 2
[12],
1/(2 ) 3/2
2
0
1
= .
2
x
x
e
e
x dx e
Имеем
2
0
1
( 1)
( ) =
exp
B k k
q
A
и из представления (9) следует