16
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
УДК 519.21
DOI: 10.18698/1812-3368-2016-6-16-31
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ
В ПОЛУПЛОСКОСТИ С ПЕРЕСКОКОМ ГРАНИЦЫ
А.В. Калинкин
kalinkin@bmstu.ruМГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация
Аннотация
Ключевые слова
Ранее автором настоящей статьи были получены анали-
тические выражения для вероятностей достижения
границы случайным блужданием на целочисленных
точках полуплоскости и вероятностей перескока грани-
цы. В данной работе для установленных вероятностных
распределений найдены асимптотические приближения,
представляющие интерес для приложений. Предельные
теоремы в докритическом и надкритическом случаях
приводят к нормальному закону для точки выхода или
точки перескока за границу — при условии, что оста-
новка случайного блуждания произошла. В критическом
случае асимптотическое приближение отлично от нор-
мального закона — получено устойчивое распределение
с показателем
=1/ 2.
Предельные теоремы обобщают
известный частный случай, когда перескока через гра-
ницу полуплоскости нет. Для вывода предельных теорем
использован метод характеристических функций и
метод преобразования Лапласа
Вероятность остановки слу-
чайного блуждания, производя-
щие функции, предельные тео-
ремы, метод характеристи-
ческих функций
Поступила в редакцию 15.04.2016
©МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2016
Случайное блуждание на целочисленных точках полуплоскости.
На множе-
стве состояний
0
0
= {( , ),
= , 1, 0, 1, , = 0, 1, }
Z N
рассмотрим од-
нородное случайное блуждание
0
( , ), = 0, 1,
n n
S S n
[1]. Переходные вероятности
за
n
шагов обозначим
( , )
0
0
0
0
0
0
0
( , ) 0
( ) = {( , ) = ( , )|( , ) = ( , )}.
n n
P n S S
S S
P
Пусть пере-
ходные вероятности за один шаг равны,
=1, 2, ,
k
0 0
0
0
1
0
0
,
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
{( ,
) = ( , ) | ( , ) = ( , )} =
,
если
и ,
0;
{( ,
) = ( , ) | ( , ) = ( , )} = 0, если < ;
{( ,
) = ( , ) | ( , ) = ( , )} =1, если < .
n
n n
k
n
n
n n
n
n
n n
n
S S
S S
p
k
k
S S
S S
S S
S S
k
P
P
P
Здесь задано распределение вероятностей
2
0
0
0
0
, = 0 0
0, ( , )
;
=1,
= 0 .
k
p
N p
p