7 / 16
А.В. Калинкин
22
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
0
0
(1) = <1)
q
[3, 9]. В докритическом и критическом случаях
1
=0
=1,
k
q
т. е. слу-
чайное блуждание остановится с вероятностью
1,
в надкритическом случае
1
=0
<1.
k
q
Докритический случай.
Функция
0
( )
u
аналитическая в области
| |< ,
u r
>1.
r
Вычислим
0
= (1)
a
и
2
2
0
0
0
= (1)
(1) ( (1)) .
Обозначим
0
=1, =1
=1, =1
( , )
( , )
=
|
,
=
|
,
u s
u s
h u s
h u s
A
A
u
s
2
2
2
00
=1, =1
0
=1, =1
=1, =1
2
2
( , )
( , )
( , )
=
|
,
=
|
,
=
|
.
u s
u s
u s
h u s
h u s
h u s
B
B
B
u
u s
s
Дифференцируя (5), в котором
0
= ( ),
s
u
по
u
в точке
=1,
u
=1,
s
и учиты-
вая
0
0
(1) = =1,
q
имеем
0
0
0
(1)
(1) = 0;
A A k
2
2
00
0 0
0
0
0
0
2 (1) ( (1))
(1) ( 1)( (1))
(1) = 0,
B B
A k k
k
откуда получаем
0
0
2
2
00
0 0
0
0
0
2
2
3
2
= (1) = < ;
2
(
( 1))
=
< .
(
)
(
)
(
)
A
a
k A
B
B A B k k A A A
k A k A
k A k A k A
Лемма 4.
Пусть выполнены условия теоремы 1. В докритическом случае
{ |
< } = (1 (1)),
;
a o
M
(20)
2
{ |
< } = (1 (1)),
.
o
D
(21)
◄
В докритическом случае производящая функция (2) аналитическая в об-
ласти
| |< ,
u r
>1,
r
поэтому конечны математическое ожидание и дисперсия,
соответствующие распределению (17). При использовании выражения (9) в вы-
числении математического ожидания по формуле (18), следует учесть, что точка
=1
u
может быть особой для некоторых из функций
( ),
l
u
=1, ,
1.
l
k
Суще-
ствует интервал
(1 ,1),
> 0,
не содержащий точек, которые являются осо-
быми для функций
( ),
l
u
=1, ,
1;
l
k
используем равенство
1
0
1
0
0
0
0
1
1
=0
1
1
=1
( )
(1) =
( ) ( ) =
( ) ( ) ( )
( )
lim
lim
( )
( ) ( ) ( )
( )
< .
k
l
l
u
u
l
k
l
l
l
l
l
l
dC u
u C u
u u C u u
du
dC u
u u C u u
du