8 / 16
Предельные теоремы для случайного блуждания в полуплоскости с перескоком границы
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
23
Функция
0
( )
u
аналитическая в области
| |< ,
u r
>1,
r
поэтому
0
0
1
( ) = (1) = ;
lim
u
u
a
0
0
1
( ) = ,
lim
u
C u C
константа
0
C
используется в (16). Функции
( )
l
C u
не имеют особых точек на интервале
(1 ,1),
что видно из представле-
ния (10) для функции
( );
u
на этом интервале конечны
( ) .
l
dC u
du
Тогда с уче-
том того, что
0
0
(1) = =1
q
и
0
= (1),
q C o
,
имеем
1
0
1
0
1
=1
0
(1)
1
1
|
< =
=
lim
lim
( )
1
1
( )
1
( )
( ) ( ) ( )
( )
.
lim lim
k
l
l
l
l
l
u
l
q
dC u
dC u
a
u
u u C u
u
du
du
C
M
При
выражение в квадратных скобках стремится к нулю равномерно
на
(1 , 1),
так как при таких
u
0
| ( )| 1
u
и
| ( ) |<1,
l
u
=1, ,
1.
l
k
Таким об-
разом,
1
1
1
[ ] =
[ ] = = lim0 0,
lim lim
lim lim
u
u
u
что завершает вывод соотноше-
ния (20).
Аналогично выводят соотношение (21) с использованием выражений (19),
(9) и асимптотик (16), (20).
►
Теорема 2.
Пусть выполнены условия теоремы 1. В докритическом случае,
при фиксированном
( , ),
x
2
/2
1
|
< =
,
lim
2
x y
a x
e dy
P
где a и
2
определены выше.
◄
Применим метод характеристических функций [10]. Покажем, что характе-
ристическая функция для нормированной случайной величины,
( , ),
t
ˆ ( ) = exp
<
a
t
it
M
стремится при
к функции
2
/2
,
t
e
являющейся характеристической
функцией стандартного нормального распределения [11]. Имеем
/
/(
)
1
ˆ ( ) =
(
)
ita
it
t
e
e
q
и из явного представления (9) следует
1
/
/(
)
/(
)
=0
1
ˆ ( ) =
(
) (
).
k
ita
it
it
l
l
l
t
e
C e
e
q