10 / 16
Предельные теоремы для случайного блуждания в полуплоскости с перескоком границы
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
25
1
2
2
=0
0
0
1
( 1)
( 1)
( ) =
exp
exp
.
k
l
l
l
B k k
B k k
C
q
A
A
При
выражение в круглых скобках стремится к
1.
При значениях
u
,
близких к
1,
| ( ) |<1,
l
u
так как
0
0
(1) = < = (1) =1,
l
l
q q
=1, ,
1.
l
k
Учитывая
также (16) при
0
=1,
q
получаем, что предел
( )
lim
равен пределу
0
2
0
( 1) .
exp
lim
B k k
A
(22)
Согласно лемме 3, представим функцию
0
( )
u
в виде (в критическом случае
=1,
r
0
= (1) =1
R
),
1,
u
1/2
3/2
0
1
2
( ) =1 ( 1)
( 1) (( 1) )
u c u
c u O u
(23)
и найдем коэффициент
1
,
c
который определяют из (15) и обращения ряда
2
2
2
=1
=1 2
0
1
( 1)
1= ( 1) |
( 1)
|
=
( 1)
2
2
s
s
du
d u
B k k
u s
s
s
ds
ds
A
(24)
Выражая в
1/2
1
2
1= ( 1)
( 1)
s
c u
c u
разность
1
u
с помощью (24),
имеем
1
0
= 2 /(
( 1)).
c i A B k k
Используя (23), получаем для предела (22) вы-
ражение
1
2
0
( 1)
exp
exp
1 = exp 2 .
lim
B k k
c
A
►
Надкритический случай.
Далее потребуются величины
0
0
= (1) /
a
q
и
2
2
0
0 0
0
0
0
= (1) /
(1) /
( (1) / ) .
q
q
q
Обозначим
0
=1, =
=1, =
0
0
( , )
( , )
=
|
,
=
|
;
u s q
u s q
h u s
h u s
A
A
u
s
2
2
2
00
=1, =
0
=1, =
=1, =
0
0
0
2
2
( , )
( , )
( , )
=
|
,
=
|
,
=
|
.
u s q
u s q
u s q
h u s
h u s
h u s
B
B
B
u
u s
s
После дифференцирования (5), в котором
0
= ( ),
s
u
по
u
в точке
=1,
u
0
= ,
s q
и учитывая
0
0
(1) = ,
q
имеем
1
0
0
0
0
(1)
(1) = 0;
k
A A k q
2
2 2
1
00
0 0
0
0
0
0
0
0
2 (1) ( (1))
(1) ( 1)( (1))
(1)
= 0,
k
k
B B
B
A k k
q k q
откуда получаем