11 / 16
А.В. Калинкин
26
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
0
0
1
0
0 0
2
00
0 0
0
2
1
1
2
1
3
0
0
0
0
0
0
2
0
0
1
2
1
2
0 0
0 0
(1)
= =
< ;
(
)
2
(
( 1))
=
(
)
(
)
(
)
< .
(
)
(
)
k
k
k
k
k
k
A
a
q q kq A
B
B A B k k A
q kq A q kq A q kq A
A
A
q kq A q kq A
Лемма 5.
Пусть выполнены условия теоремы 1. В надкритическом случае
|
< = (1 (1)),
;
a o
M
2
|
< = (1 (1)),
.
o
D
Доказательство аналогично доказательству леммы 4.
Теорема 4.
Пусть выполнены условия теоремы 1. В надкритическом случае,
при фиксированном
( , ),
x
2
/2
1
|
< =
,
lim
2
x
y
a x
e dy
P
где
a
и
2
определены выше.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.
Теорема об асимптотических свойствах вероятностей остановки.
В тео-
рии случайных блужданий представляет интерес асимптотическая формула для
(0, )
( , )
k
n
q
при
n
[1, 3, 4]. Вероятности остановки выражают через интеграл
(0, )
( , )
1
0
1=
( )
,
= 0, ,
1,
2
k
k
n
n
du
q
u
k
i
u
(25)
где согласно представлению (10) (ср. формулы Виета),
, 1
0
1
,
2
0
1
2
1
, 3
0
1
2
3
2
1
( ) = ( )
( );
( ) = ( ) ( )
( ) ( );
( ) = ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( );
.....................................................................................
k k
k
k k
k
k
k k
k
k
k
u u
u
u
u u
u u
u u u u
u u u
2
1
0
1
2
1
2
1
1
0
0
1
1
...................
( ) = ( 1) ( ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ));
( ) = ( 1)
( ) ( )
( ).
k
k
k
k
k
k
k
u
u u
u
u u
u
u
u u
u
(26)
Для формулировки теоремы 5 опишем вид производящих функций
( ),
k
u
определяемый достижимостью из начального состояния
(0, )
k
точек остановки
случайного блуждания
0
( , ).
n n
S S
Обозначим через
S
множество всех точек плос-
кости с целочисленными координатами
0
( , ),
для которых
0
>0 ,
k
p
или