6 / 16
Предельные теоремы для случайного блуждания в полуплоскости с перескоком границы
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
21
то
R
— положительный корень кратности три уравнения
( , )
= 0,
k
h r s s
чего
быть не может согласно лемме 6, приведенной в работе [2].
Утверждение леммы 3 следует из (14) и (15).
►
Предельные теоремы.
Обозначим
случайную величину, имеющую
распределение
(0, )
( , )
{
, = 0,1, };
n
q n
вероятности
(0, )
( , )
n
q
определяются производя-
щей функцией (2). Используя явное выражение (9) для
( ),
s
установим пре-
дельные теоремы при
.
При
=1
u
из определения (2) получаем
(0, )
( , )
=0
(1) =
= 1,
= 0, ,
1,
n
n
q
q
k
где
q
— вероятность остановки случайного блуждания в одном из состояний
{( , ),
}.
n n N
Выражение для вероятности
q
дано в теореме 3, приведенной в
работе [6] при условиях (3), и может быть получено из представления (9) при
1.
u
Далее использовано следствие 1, взятое из работы [6],
0 0
= (1 (1)),
.
q C q o
(16)
Здесь
0 0
= (1)
q
— ближайший к нулю положительный корень уравнения (6) и
0 0
= (1)> 0.
C C
При
2
k
(0, )
( , )
=0
=
<1,
n
n
q
q
и
можно полагать случайной величиной,
принимающей с положительной вероятностью
1
q
бесконечное значение
= .
В этом случае рассматривают условное распределение
(0, )
( , )
= |
< = ,
.
n
q
n
n N
q
P
(17)
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, соответству-
ющей распределению (17), вычисляют по формулам [3]
(1)
|
< =
;
q
M
(18)
2
(1)
(1)
(1)
|
< =
,
q
q
q
D
(19)
при этом под производной понимают левую производную.
Рассмотрим докритический случай
=1, =1
0
0
( , )
=
|
< ,
(1) = =1 ,
u s
h u s
A
k
q
s
критический случай
0
0
( = ,
(1) = =1),
A k
q
и надкритический случай
( > ,
A k