4 / 16
Предельные теоремы для случайного блуждания в полуплоскости с перескоком границы
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
19
В случае
00
0, 1
> 0
k
p
p
функция
0
( )
u
является аналитической в обла-
сти
| |< ,
u r
1,
r
и представляется рядом
0
0
1
2
=0
( ) =
,
> 0,
0,
0,
m
m
m
u r u r
r
r
(7)
В случае
00
0, 1
= 0
k
p
p
точка
= 0
u
является точкой ветвления поряд-
ка
k
функции
( )
u
и в кольце
0 <| |< ,
u r
1,
r
функция
0
( )
u
представляется
рядом
0
1
2
=1
( ) = ( ) ,
0,
0, ,
k m
m
m
u r u r
r
(8)
где взята ветвь функции
k
u
такая, что
1 =1.
k
Теорема 1 [2].
Пусть функция
( , )
h u s
аналитическая при всех
, ,
и s
выпол-
нены условия (3), (4). Производящая функция вероятностей остановки равна,
| |<1,
u
1
=0
( ) = ( ) ( ),
,
k
l
l
l
u C u u
N
(9)
где функции
( )
l
C u
,
= 0,
,
1,
l
k
определяются условиями
( )= ,
u
=
0, ,
1;
k
= 0,
если
и
=1.
Следствием является представление для производящей функции
1
1
1
1
0
0
1
=
0
, ,
0
0
( ) = ( 1)
( )
( ),
.
k
k
k
i
k
i
k
i
i
i
i
u
u
u
N
(10)
Здесь знак «
» обозначает, что число показателей степеней
0
1
, ,
,
k
i
i
обращаю-
щихся в нуль, не больше .
Вспомогательные леммы.
Основную роль в исследовании асимптотических
свойств распределения
(0, )
( , )
{
, = 0,1, },
n
q n
исходя из представлений (9) и (10), игра-
ет функция
0
( ).
u
Далее рассмотрим случай (7), случай (8) аналогичен. Обозначим
r
радиус сходимости ряда (7) и примем
0
= ( ).
R r
Поскольку ряд (7) имеет неотри-
цательные коэффициенты, точка
=
u r
— особая для функции
0
( ).
u
Следующие
леммы доказывают аналогично леммам, приведенным в главе 5 работы [3].
Лемма 2.
Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда r и
R
конечны,
1
= , =
( , ) |
= .
k
u r s R
h u s
kR
s
(11)
◄
По второму из условий (4), в разложении (1) для функции
( , )
h u s
коэф-
фициент
0
> 0
p
при некотором
1.
k
Тогда из равенства
0
0
( , ( )) = ( )
k
h u u
u
вытекает, при
0< 1
u