12 / 16
Предельные теоремы для случайного блуждания в полуплоскости с перескоком границы
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
27
0
= = 0.
Обозначим
L
S
такую решетку целочисленных точек, которая содер-
жит множество
S
и не содержит никакой подрешетки, удовлетворяющей этому
же свойству. Координаты всех точек решетки
L
S
можно получить, составляя
всевозможные линейные комбинации с целыми коэффициентами из координат
точек множества
.
S
Свойства такой решетки исследованы в работе [3].
Если на распределение вероятностей
0
{ }
p
наложены условия теоремы 1,
то решетка
L
S
двумерна, в ее основании лежит параллелограмм площадью
,
d
причем
d
— целое число. Решетка
L
S
характеризует множество состояний
2
0
( , )
N
таких, что
0
(0, )
0
( , )
( ) > 0
k
P n
при некотором
0
< .
n
Очевидно, если
0
( , )
,
L
S
то
0
(0, )
( , )
( ) 0.
k
P n
Обозначим
l
минимальное число
0
такое, что
0
(0, )
0
( , )
( ) > 0
k
P n
при некотором
0
<
n
( = 0, ,
1
k
). Такое
l
существует, так как
в противном случае вероятность
(0, )
( , )
=0
=
= 0,
k
k
n
n
q
q
чего быть не может по усло-
виям (3). Нетрудно заключить, при фиксированном
, что
L
S
принадлежат
только точки вида
(
, ),
l
md
= 0, 1, 2,
m
Достижимыми из состояния
(0, )
k
являются точки остановки вида
(
, ),
l md
= 0,1, 2, ,
m
и производящая
функция вероятностей остановки имеет вид,
1,
u
(0, )
(
, )
=0
( ) =
,
= 0, ,
1.
l md
k
k
l
md
m
u q
u
k
Теорема 5.
Пусть выполнены условия теоремы 1. Примем
2
0
= , =
= , =
2
( , )
( , )
=
|
,
=
|
;
u r s R
u r s R
h u s
h u s
A
B
u
s
1
2
1
1
=1,
= ( )
( );
k
k
k
r
r
1
3 1
2
2
1
0
1
1
= ( ) ( )
( ) ( ),
,
=( 1)
( )
( ).
k
k
k
k
k
r r
r
r
r
r
При
n
1/2
0
3/2
5/2
(0, )
2
( , )
(
),
(mod );
=
2
( 1)
0,
(mod ).
n
n
k
k
n
A r
d
r n O r n
n l
d
q
B k k R
n l
d
(27)
Следствие 1.
В критическом случае, когда
=1, =1
( , )
=
|
=
u s
h u s
A
k
s
, при
n
0
3/2
5/2
(0, )
( , )
(
),
(mod );
=
2
( 1)
0,
(mod ).
k
n
A
d
n O n
n l
d
q
B k k
n l
d
(28)