5 / 16
А.В. Калинкин
20
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
0
0 0
0
( )
( ).
k
p u u u
(12)
Поскольку по первому из условий (3)
(1, 0) > 0
h
, то
0
( ) > 0,
u
0 < 1,
u
и
из (12) следует
0
1/( )
0
0
( ) (
)
.
k
u p u
Полагая в последнем неравенстве
,
u r
устанавливаем конечность
r
и
.
R
Согласно теореме о неявной функции [7, 8], в
окрестности точки
1 1
( , )
u s
существует единственное аналитическое решение
0
= ( )
s
u
уравнения
( , ) = ,
k
h u s s
если
1 1
1
1
,
( , ) |
.
k
u u s s
h u s
ks
s
Точка
=
u r
— осо-
бая точка для функции
0
( ),
u
получаем равенство (11).
►
Функция
0
( )
u
аналитическая в области
| |< ,
u r
поэтому при
| |<
u r
0
1
0
= ( )
( , ) |
( ).
k
s
u
h u s
k u
s
Лемма 3.
Пусть выполнены условия теоремы 1. Функция
0
( )
u
в окрестно-
сти точки r является аналитической функцией от
1/2
(
) .
u r
◄
Рассмотрим уравнение
( , ) = .
k
h u s s
(13)
В точке
( , )
r R
имеем
( , ) =
k
h r R R
и
= , =
( , ) |
0.
u r s R
h u s
u
Поэтому в этой точке
по теореме о неявной функции существует аналитическое решение = ( )
u s
уравнения (13), являющееся обратной функцией для
0
= ( ).
s
u
Дифферен-
цируя (13), определим первую
du
ds
и вторую
2
2
d u
ds
производные функции
= ( )
u s
в точке
= :
s R
1
=
= ;
| = 0,
k
s R
h du h
du
ks
u ds
s
ds
(14)
так как
1
= , =
|
=
k
u r s R
h
kR
s
по лемме 2,
2
2
2
2
2
2
2
= ( 1) ;
k
h d u
h du h k k s
u ds
u s ds s
2
2
2
2
= 2
( , ) ( 1)
| =
0.
( , )
k
s R
h r R k k R
d u
s
h r R
ds
u
(15)
Числитель в выражении (15) отличен от нуля. Если
0
0,
2
2
0
0
( 1)
( 1)
= 0,
k
p r R k k R